第35练 空间向量的运算及其坐标表示（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第35练空间向量的运算及其坐标表示（精练）【A组在基础中考查功底】一、单选题1．已知向量),4(4,2a，)6,(3,2b，则下列结论正确的是（）A．)10,,6(5abB．2,1,6abC．10abD．6a【答案】D【分析】根据空间向量的加减法、数量积以及模值坐标运算可判断.【详解】解：因为),4(4,2a，)6,(3,2b，所以根据空间向量的加减法、数量积以及模值运算可判断：对于选项A：)10,,2(5ab，故A错误；对于选项B：)2,1,6(ab，故B错误；对于选项C：46(2)(3)(4)222ab，故C错误；对于选项D：2224246a，故D正确.故选：D2．已知向量(3,2,5)a，(1,,1)bx，且ab，则x的值为（）A．4B．4C．5D．5【答案】A【分析】根据空间向量垂直得到方程，求出4x.【详解】由题意得(3,2,5)(1,,1)3250abxx，解得4x.故选：A3．已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OAa，OBb，OCc，用a，b，c表示MN，则MN等于（）A．12bcaB．12abcC．12abcD．12cab【答案】D【分析】运用向量的线性运算即可求得结果．【详解】因为OAa，OBb，OCc，所以111222OCOAOMNONbOBaMc.故选：D.4．设,Rxy，向量,1,1axr，1,,1byr，2,4,2c且,//acbc，则ab（）A．22B．10C．3D．4【答案】C【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得,xy的值，结合向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量,1,1,ax1,,1,by2,4,2,c且,//acbc，可得2420124xy，解得x1,y2，所以1,1,1a，1,2,1b，则2,1,2ab，所以3ab.故选：C.5．平行六面体1111ABCDABCD中，化简1ABADCC（）A．1ACB．1CAC．1BDD．1DB【答案】A【分析】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．【详解】1111ABCDABCD为平行四面体，1111111.ABADCCDCADCCACCCACCCAC故选：A．6．已知O为空间任意一点，若311488OPOAOBOC，则,,,ABCP四点（）A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断【答案】B【分析】根据空间向量线性运算化简得1166APPBPC，即可判断四点位置情况.【详解】由题设3311114488808OCOAOPOBOPOP，所以0311488PAPPCB，则1166APPBPC，故,,,ABCP四点共面.故选：B7．如图，在平行六面体1111ABCDABCD中，1,,AAaABbADc．点P在1AC上，且1:2:3APPC，则AP（）A．233555abcB．322555abcC．223555abcD．322555abc【答案】D【分析】利用空间向量的基本定理可得出AP关于,,abc的表达式.【详解】在平行六面体1111ABCDABCD中，11111,,AAaABbABADDAc则111111ACABADAAbca，11112232255555APAAAPAAACabcaabc.故选：D.8．在平行六面体1111ABCDABCD中，M为11AC与11BD的交点，若ABa=，ADb，1AAc，则下列向量中与BM相等的向量是（）A．1122abcB．1122abcC．1122abcD．1122abc【答案】B【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.【详解】在平行六面体1111ABCDABCD中，M为11AC与11BD的交点，故11111111222AMABADab，故111111111222222BMBAAAAMABAAabacababc.故选：B9．如图，空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc，点M在OA上，且2OMMA，点N为BC中点，则MN（）A．121232abcB．211322abcC．111222abcD．2132abc【答案】B【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】因为2OMMA，所以2OMMA，所以23OMOA，又点N为BC中点，所以12ONOBOC，所以1221123322MNONOMOBOCOAabc.故选：B.10．四面体DABC中，2BMMC，G为AM中点，设,,DAaDBbDCc则DG（）A．111263abcB．111236abcC．111632abcD．111326abc【答案】A【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，代入计算化简，即可得到结果.【详解】由题意可得，1122DGDAAGDAAMDAABBM12122323DAABBCDADBDADCDB111111263263DADBDCabc.故选：A11．已知点(4,1,3)A，(2,5,1)B，C为线段AB上一点，且13ACAB，则点C的坐标为（）A．715,,222B．3,3,28C．107,1,33D．573,,222【答案】C【分析】根据13ACAB，设点(,,)Cxyz，再利用空间向量的线性运算即可得到方程组，解出即可.【详解】13ACAB，13ACAB.设点(,,)Cxyz，则(4,1,3)ACxyz，又(2,6,2)AB，1(4,1,3)(2,6,2)3xyz，解得107,1,33xyz，∴点C的坐标为107,1,33.故选：C.12．在四面体OABC中，OAa，OBb，OCc，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝（）A．111244abcB．1122abcC．111244abcD．111424abc【答案】C【分析】,,OAOBOC是三个不共面的向量，构成空间的一个基底,,OAOBOC，利用向量的线性运算用基底表示OE即可.【详解】12OEOAAEOAAD111=+224OAABACOAOBOAOCOA111244OAOBOC即：111244OEabc故选：C.13．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥PABCD为阳马，PA平面ABCD，且2ECPE，若DExAByAzAPC，则xyz（）A．1B．2C．13D．53【答案】A【分析】根据向量线性运算，以,,ABACAP为基底表示出DE，从而确定,,xyz的取值.【详解】2ECPE，13PEPC，1133DEAEADAPPEADAPPCADAPACAPAD212121333333APACADAPACBCAPACACAB2233APACAB，1x，23y，23z，1xyz.故选：A.二、多选题14．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（）①22ABBCCDDC；②2233ABBCCDDAAC；③ABCABD；④ABCBCDAD.A．①B．②C．③D．④【答案】BD【分析】根据向量加法，减法运算法则，即可求解判断.【详解】①中，原式2ABBDDCABBDBDDCADBC，不符合题意；②中，原式20ABBCCDDAACCDDA，符合题意；③中，原式CAADCD，不符合题意；④中，原式0ABADCDCBDBBD，符合题意.故选：BD15．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中不能．．确定点M，A，B，C共面的是（）A．OMOAOBOCB．2OMOAOBOCC．1123OMOAOBOCD．111333OMOAOBOC【答案】ABC【分析】利用向量四点共面的结论进行判断即可.【详解】设OMxOAyOBzOC，若点M与点,,ABC共面，则1xyz，逐一检验各选项，可知只有选项D确定点M，A，B，C共面.故选：ABC.16．在空间直角坐标系中，已知2,1,1A，1,3,2B，3,2,2C，则（）.A．点A关于xOz平面对称的点是2,1,1AB．点B关于x轴对称的点是1,3,2BC．0,3,2ABACD．4ABBC【答案】ACD【分析】根据空间向量的坐标表示计算可得.【详解】点2,1,1A关于xOz平面对称的点是2,1,1A，故A正确.点1,3,2B关于x轴对称的点是1,3,2B，故B不正确.1,2,1AB，1,1,1AC，2,1,0BC，0,3,2ABAC，12214ABBC，故C、D均正确.故选：ACD17．在正方体1111ACBDABCD中，设ABa=，ADb，1AAc，则（）A．0abcrrrB．π,3abbcrrrrC．1ACabcD．1BDbca【答案】ABD【分析】由题意画出几何体，再由平面向量的加法运算逐一分析四个选项得答案.【详解】如图，对于A,110abcacbcABAAADAA,故A正确;对于B，11,abABADACbcADAAAD，易知112ACADCDAB，则1ACD△为等边三角形,1π,3ACAD，即π,3abbcrrrr，故B正确;对于C,111ACACCCABADAAabc，故C错误;对于D，111BDADABADAAABbca，故D正确.故选:ABD.18．如图，在三棱柱111ABCABC-中，,MN分别是111,ABBC上的点，且1112,2BMAMCNBN.设1,,ABaACbAAc，若11190,60,1BACBAACAAABACAA，则下列说法中正确的是（）A．112333MNabcB．53MN∣∣C．111ABACD．111cos,6ABBC【答案】BD【分析】根据空间向量基本定理、空间向量模的公式，结合空间向量数量积运算性质逐一判断即可.【详解】因为12BMAM，112CNBN，所以1111133AMABABAA，11111111213333ANABBNABBCABACABABAC，所以1111211111111,333333333MNANAMABACABAAABACAAabc故A错误；因为1abc，0ab，12acbc，所以2222221115222329999MNabcabcabacbc，所以53MN，故B正确；因为1111,ABAAacbABAC，所以11111011022ABaACcbabbc，故C错误；