第36讲 空间向量及其应用（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第36讲空间向量及其应用（精讲）题型目录一览①利用空间向量证线面平行、面面平行②利用空间向量证线面垂直、面面垂直③利用空间向量求异面直线夹角④利用空间向量求线面角、面面角⑤利用空间向量求点到线距离、点到面距离一、法向量的求解与简单应用（1）平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量．注：①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有0mn．第一步：写出平面内两个不平行的向111222，，，，，axyzbxyz；第二步：那么平面法向量，，nxyz，满足1112220000xxyyzznaxxyyzznb．（2）判定直线、平面间的位置关系①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为a，b．若a∥b，即ab，则∥ab；若⊥ab，即0ab，则⊥ab．②直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，且⊥l．若a∥n，即an，则⊥l；若⊥an，即0an，则∥a．一、知识点梳理（3）平面与平面的位置关系平面的法向量为1n，平面的法向量为2n．若1n∥2n，即12nn，则∥；若1n⊥2n，即120nn，则⊥．二、空间角公式（1）异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线1l，2l上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则coscos,ababab．（2）线面角公式：设l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成角的大小，则sincos,ananan．（3）二面角公式：设1n，2n分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则12,nn或12,nn（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cosnnnn．三、空间中的距离（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，ab的公垂线的方向向量为n，这时分别在，ab上任取，AB两点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线，ab的距离．则||||||||nABndABnn即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（2）点到平面的距离A为平面外一点（如图），n为平面的法向量，过A作平面的斜线AB及垂线AH．|n||n|||||sin|||cos,|=||nnABABAHABABABnABAB，||||ABndn【常用结论】用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算．题型一利用空间向量证线面平行、面面平行策略方法利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题【典例1】在正方体1111ABCDABCD中，若1O为11AC中点，2O为AC中点.二、题型分类精讲求证：(1)112//BODO；(2)1//BO平面1ACD；(3)平面1//ACD平面11BAC．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）以D为坐标原点，1,,DADCDD的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出112,BODO的坐标，利用112//BODO，即可证明；（2）求出平面ACD1的法向量n，及直线的方向向量1BO，从而得到1nBO，即可证明；（3）可以利用11//AC平面1ACD，及1//BO平面1ACD，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行.【详解】（1）以D为坐标原点，1,,DADCDD的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．依题意知：(1,1,0)B，111(,,1)22O，1(0,0,1)D，211(,,0)22O，∴111(,,1)22BO，1211(,,1)22DO，∴112BODO，∴112//BODO，即112//BODO.（2）设平面ACD1的法向量为(,,)nxyz，∵(1,0,0)A，(0,1,0)C，1(0,0,1)D，∴(1,1,0)AC，1(1,0,1)AD，由100nACnAD可得，00xyxz，即yxzx，令1x，则1,1yz，∴(1,1,1)n，又111(,,1)22BO，∴1111()111022nBO，∴1nBO，又1BO平面1ACD，∴1//BO平面1ACD．（3）证法一∵11(1,0,1),(0,1,1)AC，∴11(1,1,0)AC，又(1,1,0)AC，∴11ACAC，∴11//ACAC，又AC平面1ACD，11AC平面1ACD，∴11//AC平面1ACD，又由（2）知1//BO平面1ACD，而1111ACBOO，且11AC平面11BAC，1BO平面11BAC,∴平面1//ACD平面11BAC.证法二设平面11BAC的法向量为(,,),uxyz则11100uACuBO即011022xyxyz∴yxzx令1x，得1,1yz，∴(1,1,1)u，由（2）知平面ACD1的一个法向量(1,1,1)n，∴nu，∴//nu，∴平面1//ACD平面11BAC.【题型训练】一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正四棱1111ABCDABCD的底面边长1，侧棱长4，1AA中点为E，1CC中点为F．求证：平面//BDE平面11BDF.【答案】证明见解析【分析】以A为原点，AB，AD，1AA所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证1//DEFB，同理11//BDBD，再结合面面平行判定定理即可证明结论.【详解】以A为原点，AB，AD，1AA所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则(1B,0,0)，(0D,1,0)，(0E,0,2)，1(1B,0,4)，1(0D,1,4)，(1F,1,2)，1(0,1,2)DEFB，1//DEFB，同理11//BDBD，DE平面11BDF，1FB平面11BDF，//DE平面11BDF，BD平面11BDF，11BD平面11BDF，//BD平面11BDF，又,,DEBDDDEBD平面BDE平面BDE与平面11BDF平行．2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在八面体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面PAD∥平面QBC，二面角PABC--与二面角QCDA的大小都是30，3APCQ，PDAB．证明：平面PCD∥平面QAB．【答案】证明见解析【分析】根据垂直关系分析可知30PAD，30QCB，建系，利用空间向量可得PC∥AQ，根据题意结合线面、面面平行分析证明.【详解】因为ABCD为正方形，所以ABAD，又因为PDAB，PDAB，ADPDDI，,ADPD平面PAD，所以AB平面PAD，且PA平面PAD，则ABPA，所以PAD为二面角PABC--的平面角，即30PAD，又因为平面PAD∥平面QBC，AB∥CD，所以CD平面QBC，且,BCQC平面QBC，则,BCCDQCCD，所以QCB为二面角QCDA的平面角，即30QCB，如图建立空间直角坐标系，则2,0,0B，2,2,0C，330,,22P，132,,22Q，所以132,,22PC，132,,22AQ，即PCAQ，所以PC∥AQ，且PC平面QAB，AQ平面QAB，所以PC∥平面QAB，又因为AB∥CD，CD平面QAB，AB平面QAB，所以CD∥平面QAB，因为PCCDC，,PCCD平面PCD，所以平面PCD∥平面QAB．3．（2023秋·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考开学考试）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，2AB，4ADAP，M，N分别是BC，PD的中点.(1)求证：//MN平面PAB；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明//MN平面PAB.【详解】（1）由PA平面ABCD，,ABAD平面ABCD，则,PAABPAAD，由矩形ABCD，得ABAD，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则0,0,0,2,0,0,2,4,00,4,0,0,0,4,2,2,0,0,2,2ABCDPMN，于是(2,0,2)MN，而平面PAB的一个法向量为(0,4,0)AD，显然0MNAD，又MN平面PAB，所以//MN平面PAB.4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1BB平面ABC，D，E分别为棱AB，11BC的中点，2BC，23AB，114AC.证明：//DE平面11ACCA.【答案】证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得//DE平面11ACCA【详解】在三棱柱111ABCABC-中，1BB平面ABC，2BC，23AB，114AC.所以114ACAC，则222ACABBC，则ABBC，则如下图，以B为原点，1,,BCBABB为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设1BBh，则0230000200ABC,,,,,,,,,111023002003010AhBhChDEh,,,,,,,,,,,,,,，所以1,3,DEh，12,23,00,0,ACAAh，，设平面11ACCA的一个法向量为,,nxyzr，所以1=223=0==0ACnxyAAnhz，令1y，则3,0xz，即3,1,0n，所以1,3,3,1,03300DEnh，得DEn，又DE平面11ACCA，所以//DE平面11ACCA.5．（2023秋·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试）在正四棱锥VABCD中，已知32VAAB，13VPVC，23VMVB，23VNVD.(1)证明：VA∥平面PMN；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建系，相应的坐标和向量，方法一：求平面PMN的法向量为n，可得0nVA，即可得结果；方法二：可证PM，PN，VA共面，进而可得结果；【详解】（1）连接AC交BD于O，如图所示，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则3,0,0A，0,0,3V，3,0,0C，0,3,0B，0,3,0D，可得3,0,3VA，0,3,3VB，3,0,3VC，0,3,3VD，则11,0,13VPVC，0,2,2VM，0,2,2VN，所以1,2,1PMVMVPuuuruuuruur，1,2,1PNVNVP