第44练 直线与双曲线（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第43练直线与双曲线（精练）一、填空题1．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆22163xy在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且||||,||23MANBMN，则l的方程为．【答案】2220xy【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令AB的中点为E，设11,Axy，22,Bxy，利用点差法得到12OEABkk，设直线:ABykxm，0k，0m，求出M、N的坐标，再根据MN求出k、m，即可得解；解：令AB的中点为E，因为MANB，所以MENE，设11,Axy，22,Bxy，则2211163xy，2222631xy，所以2222121206633xxyy，即12121212063xxxxyyyy所以1212121212yyyyxxxx，即12OEABkk，设直线:ABykxm，0k，0m，令0x得ym，令0y得mxk，即,0mMk，0,Nm，所以,22mmEk，即1222mkmk，解得22k或22k（舍去），又23MN，即22223MNmm，解得2m或2m（舍去），所以直线2:22AByx，即2220xy；刷真题明导向资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：2220xy[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点E既为线段AB的中点又是线段MN的中点，设11,Axy，22,Bxy，设直线:ABykxm，0k，0m，则,0mMk，0,Nm，,22mmEk，因为23MN，所以3OE联立直线AB与椭圆方程得22163ykxmxy消掉y得222(12)4260kxmkxm其中2221224=4-4(12)260,12mkmkkmxxk（）（），∴AB中点E的横坐标2212Emkxk,又,22mmEk，∴22=122Emkxkmk∵0k，0m，∴2=-2k,又22+=322OmmkE（）（），解得m=2所以直线2:22AByx，即2220xy二、解答题2．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为25,0，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为1A，2A，过点4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线1MA与2NA交于点P．证明:点P在定直线上.【答案】(1)221416xy(2)证明见解析.【分析】（1）由题意求得,ab的值即可确定双曲线方程；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线1MA与2NA的方程，联立直线方程，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】消去y，结合韦达定理计算可得2123xx，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P在定直线=1x上.【详解】（1）设双曲线方程为222210,0xyabab，由焦点坐标可知25c，则由5cea可得2a，224bca，双曲线方程为221416xy.（2）由(1)可得122,0,2,0AA，设1122,,,MxyNxy，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为4xmy，且1122m，与221416xy联立可得224132480mymy，且264(43)0m，则1212223248,4141myyyymm，直线1MA的方程为1122yyxx，直线2NA的方程为2222yyxx，联立直线1MA与直线2NA的方程可得：2121121211212121222222266yxymymyyyyyxxyxymymyyy112221122483216222141414148483664141mmmyymmmmmyymm，由2123xx可得=1x，即1Px，据此可得点P在定直线=1x上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点1122,,,PxyQxy在C上，且1210,0xxy．过P且斜率为3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQAB∥；③||||MAMB．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)2213yx(2)见解析【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得,ab的关系，进而利用,,abc的平方关系求得,ab的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到200283kxkyk；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率003xmy，由②//PQAB等价转化为003kyx，由①M在直线AB上等价于2002kykx，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【详解】（1）右焦点为(2,0)F，∴2c,∵渐近线方程为3yx，∴3ba，∴3ba，∴222244caba，∴1a，∴3b．∴C的方程为：2213yx；（2）由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而12xx，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为2ykx,则条件①M在AB上，等价于2000022ykxkykx；两渐近线的方程合并为2230xy,资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立消去y并化简整理得：22223440kxkxk设3344,,,AxyBxy,线段中点为,NNNxy,则2342226,2233NNNxxkkxykxkk,设00,Mxy,则条件③AMBM等价于222203030404xxyyxxyy,移项并利用平方差公式整理得：3403434034220xxxxxyyyyy，3403403434220yyxxxyyyxx,即000NNxxkyy,即200283kxkyk；由题意知直线PM的斜率为3,直线QM的斜率为3,∴由101020203,3yyxxyyxx,∴1212032yyxxx,所以直线PQ的斜率12012121232xxxyymxxxx,直线00:3PMyxxy,即0033yyxx,代入双曲线的方程22330xy,即333xyxy中，得：000032333yxxyx,解得P的横坐标：10000133233xyxyx,同理：20000133233xyxyx，∴00120120022220000331,2,333yxxxyxxxxyxyx∴003xmy,∴条件②//PQAB等价于003mkkyx，综上所述：资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】条件①M在AB上，等价于2002kykx；条件②//PQAB等价于003kyx；条件③AMBM等价于200283kxkyk；选①②推③:由①②解得：2200002228,433kkxxkyxkk,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223kxk，20263kkyk，∴003kyx，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223kxk，20263kkyk，∴02623xk，∴2002kykx，∴①成立.【A组在基础中考查功底】一、单选题1．直线0xy与双曲线2222xy有两个交点为A，B，则AB（）A．2B．22C．4D．42【答案】C【解析】直线方程与双曲线方程联立方程组，直接解得交点坐标，再计算两点间距离．【详解】由22220xyxy，得1122xy，2222xy，∴2222224AB.故选：C．2．直线1732yx与双曲线2219xy交点的个数是（）A．0B．1C．2D．4【答案】B【分析】根据已知直线和渐近线平行即可得答案.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由题知，双曲线2219xy的渐近线方程为13yx，所以直线17:32lyx与双曲线的一条渐近线平行，由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点.故选：B3．双曲线2213xy的两焦点为F1，F2，P点在双曲线上，且满足1225PFPF，则△PF1F2的面积为（）A．2B．1C．4D．3【答案】B【分析】利用焦点三角形的性质结合题设条件可得1253,53PFPF，从而可得焦点三角形为直角三角形，从而可求其面积.【详解】不妨设点P在双曲线右支上.由双曲线的定义可得1223PFPF，又1225PFPF，两式联立得1253,53PFPF.又124FF，所以2221212PFPFFF，即12PFF△为直角三角形，所以1212112PFFSPFPF.故选：B4．过双曲线22:13xCy左､右焦点12FF、分别作倾斜角为45的直线与双曲线C相交于x轴上方12PP、两点，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则1212PFPF（）A．3B．2C．23D．4【答案】C【分析】11PF的方程为2yx，解得612y得到132PF，同理计算232PF得到答案.【详解】12,0F，则11PF的方程为：2yx，联立方程22213yxxy，解得612y，（舍去负值），故1232PFy；同理可得：232PF，故121223PFPF.故选：C.5．已知双曲线22123xy的左右焦点分别是1F、2F，过1F的直线l与双曲线相交于A、B两点，则满足32AB的直线l有A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【分析】根据双曲线22123xy，过1F的直线l垂直于x轴时，226322bABa，双曲线两个顶点的距离为22，即可得出结论.【详解】双曲线22123xy，过1F的直线l垂直于x轴时，226322bABa；双曲线两个顶点的距离为22，满足32AB的直线l有3条，一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.故选：C【点睛】本题考查了直线与双曲线相交的弦长问题，考查了通径的求法，属于基础题.6．已知直线1ykx与双曲线221xy没有公