第7节 函数的图象

第7节函数的图象考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象――→关于x轴对称y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象――→关于y轴对称y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象――→关于原点对称y＝－f(－x)的图象；y＝ax(a0，且a≠1)的图象――→关于直线y＝x对称y＝logax(a0，且a≠1)的图象.(3)伸缩变换y＝f(x)――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a0）倍y＝f(ax).y＝f(x)――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A(A0)倍y＝Af(x).(4)翻折变换y＝f(x)的图象――――――――――――→x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y＝|f(x)|的图象；y＝f(x)的图象――――――――――――→y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变y＝f(|x|)的图象.1.记住几个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．而言的，利用“上加下减”进行.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.()(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a0且a≠1)的图象相同.()(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误.(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误.2.(多选)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有()A.a＞1B.0＜a＜1C.b＞0D.b＜0答案AD解析因为函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示.由图象可知函数为增函数，所以a＞1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b＜0，故选AD.3.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得到的图象与函数y＝ex的图象关于y轴对称，则f(x)等于()A.ex＋1B.ex－1C.e－x＋1D.e－x－1答案D解析依题意f(x)的图象可由y＝ex的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单位长度得到.∴y＝ex―――――――→关于y轴对称y＝e－x――――――――――→向左平移1个单位长度y＝e－(x＋1)＝e－x－1，∴f(x)＝e－x－1.4.在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝logax＋12(a0，且a≠1)的图象可能是()答案D解析若a1，则y＝1ax单调递减，A，B，D不符合，且y＝logax＋12过定点12，0，C不符合，因此0a1.当0a1时，函数y＝1ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，函数y＝logax＋12的图象过定点12，0，在－12，＋∞上单调递减.因此，D中的两个图象符合.5.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________.答案(2，8]解析当f(x)0时，函数g(x)＝log2f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0时，x∈(2，8].6.(易错题)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个实数解，则实数a的取值范围是________.答案(0，＋∞)解析在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示.由图象知，当a＞0时，y＝|x|与y＝a－x两图象只有一个交点，方程|x|＝a－x只有一个解.考点一作出函数的图象例1作出下列函数的图象：(1)y＝12|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝x2－2|x|－1.解(1)先作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，再作出y＝12x的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象，如图①实线部分.(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.(3)∵y＝x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.感悟提升1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.训练1分别作出下列函数的图象：(1)y＝sin|x|；(2)y＝2x－1x－1.解(1)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图①.(2)y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数的图象可由y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②所示.考点二函数图象的识别角度1函数图象的识别例2(1)(2020·浙江卷)函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]上的图象可能是()答案A解析当x＝π时，y＝π·cosπ＋sinπ＝π·(－1)＋0＝－π；当x＝－π时，y＝－π·cos(－π)＋sin(－π)＝－π·(－1)＋0＝π.故函数图象过(π，－π)，(－π，π)两点.故选A.(2)(2021·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋14，g(x)＝sinx，则图象为如图的函数可能是()A.y＝f(x)＋g(x)－14B.y＝f(x)－g(x)－14C.y＝f(x)g(x)D.y＝g（x）f（x）答案D解析易知函数f(x)＝x2＋14是偶函数，g(x)＝sinx是奇函数，选项A，y＝f(x)＋g(x)－14＝x2＋sinx为非奇非偶函数，排除A；选项B，y＝f(x)－g(x)－14＝x2－sinx也为非奇非偶函数，排除B；因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，且f(x)0，当x∈0，π2时，g(x)单调递增，且g(x)0，所以y＝f(x)g(x)在0，π2上单调递增，由图象可知所求函数在0，π4上不单调，排除C.故选D.(3)已知函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x1，则函数y＝f(1－x)的大致图象是()答案D解析法一先画出函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x1的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图象(图略)，故选D.法二由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝31－x，x≥0，log13（1－x），x0，故该函数过点(0，3)，排除A；过点(1，1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.感悟提升1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.角度2借助动点探究函数图象例3如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为()答案C解析(排除法)由题图可知：当x＝π2时，OP⊥OA，此时f(x)＝0，排除A，D；当x∈0，π2时，OM＝cosx，设点M到直线OP的距离为d，则dOM＝sinx，即d＝OMsinx＝sinx·cosx，∴f(x)＝sinxcosx＝12sin2x≤12，排除B，故选C.感悟提升根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从而利用排除法做出选择.注意求解的过程中注意实际问题中的定义域问题.训练2(1)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]上的图象大致为()答案D解析因为f(x)＝y＝2x2－e|x|，所以f(－x)＝2(－x)2－e|－x|＝2x2－e|x|，故函数为偶函数.当x＝±2时，y＝8－e2∈(0，1)，故排除A，B.当x∈[0，2]时，f(x)＝2x2－ex，所以f′(x)＝4x－ex＝0有解.故y＝2x2－e|x|在[0，2]上不是单调的，故排除C.(2)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()答案B解析由题易知f(0)＝2，fπ4＝1＋5，fπ2＝22＜fπ4，可排除C，D；当点P在边BC上时，f(x)＝BP＋AP＝tanx＋4＋tan2x0≤x≤π4，不难发现f(x)的图象是非线性的，排除A，选B.考点三函数图象的应用角度1研究函数的性质例4已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B.f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)D.f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案C解析将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x＜0，画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减.角度2确定零点个数、解不等式例5(1)设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为________________.答案{x|x≤0或1＜x≤2}解析画出f(x)的大致图象如图所示.不等式(x－1)f(x)≤0可化为x＞1，f（x）≤0，或x＜1，f（x）≥0.由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1＜x≤2}.(2)已知f(x)＝|lgx|，x＞0，2|x|，x≤0，则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________