第8节 函数与方程

第8节函数与方程考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.1.函数的零点(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：2.函数零点存在定理(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)0.(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，如图所示，所以f(a)·f(b)0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝2x的零点为0.()(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点.()答案(1)√(2)×(3)√解析(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.2.(多选)(2021·威海调研)下列说法中正确的是()A.函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)B.函数f(x)＝x＋1的零点为－1C.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点D.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标答案BD解析根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误.3.(2022·武汉期末)函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(－2，－1)D.(－1，0)答案A解析f(0)＝－1，f(1)＝2，故f(0)f(1)＜0，由零点存在定理可知f(x)的零点所在的一个区间是(0，1).4.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案B解析由2sinx－sin2x＝0，得sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，由sinx＝0，得x＝0，π，2π.由cosx＝1，得x＝0，2π.∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.5.(易错题)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________.答案0或－14解析当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一个零点为－1.当a≠0，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－14.6.函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是________.答案(0，3)解析令f(x)＝0，∴x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－2x，即y＝k与φ(x)＝2x－2x，x∈(1，2)的图象有交点，又φ(x)＝2x－2x在(1，2)上单调递增，且φ(1)＝0，φ(2)＝3.∴0＜k＜3.考点一函数零点所在区间的判断1.(多选)(2021·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点()A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)答案AD解析f(－2)＝1e2＞0，f(－1)＝1e－10，f(0)＝－10，f(1)＝e－30，f(2)＝e2－40，因为f(－2)·f(－1)＜0，f(1)·f(2)0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点.2.函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)答案C解析因为函数f(x)＝2x－2x－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)0，所以(－a)(4－1－a)0，即a(a－3)0，所以0a3.3.(2022·长沙调研)设函数f(x)＝13x－lnx，则函数y＝f(x)()A.在区间1e，1，(1，e)内均有零点B.在区间1e，1，(1，e)内均无零点C.在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D.在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点答案D解析令f(x)＝0得13x＝lnx.作出函数y＝13x和y＝lnx的图象，如图，显然y＝f(x)在1e，1内无零点，在(1，e)内有零点.4.若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内B.(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内答案A解析∵abc，∴f(a)＝(a－b)(a－c)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.感悟提升确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.考点二函数零点个数的判定例1(1)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数是()A.9B.10C.11D.18答案B解析由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lgx|的图象，由图可知，y＝f(x)与y＝|lgx|共有10个交点，故原函数有10个零点.(2)函数f(x)＝2x|ln(x＋1)|－4的零点个数为________.答案2解析由题意，函数f(x)＝2x|ln(x＋1)|－4的零点个数即为两个函数y＝2－x＋2与y＝|ln(x＋1)|的交点个数，两个函数的图象如图.由图知，两个函数有2个交点，故函数f(x)＝2x|ln(x＋1)|－4的零点个数是2.感悟提升函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.训练1(1)函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x0的零点个数为()A.3B.2C.7D.0答案B解析法一(直接法)由f(x)＝0得x≤0，x2＋x－2＝0或x0，－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点.法二(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.(2)(2021·福州联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝cosπ2x，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是()A.2B.3C.4D.5答案A解析由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，知周期T＝2，令f(x)－|x|＝0，得f(x)＝|x|.作出函数y＝f(x)与g(x)＝|x|的图象如图所示.由函数的图象知，y＝f(x)－|x|有两个零点.考点三函数零点的应用角度1根据零点的个数求参数例2(1)已知函数f(x)＝2x，0≤x≤1，1x，x1.若关于x的方程f(x)＝－14x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A.54，94B.54，94C.54，94∪{1}D.54，94∪{1}答案D解析画出函数y＝f(x)的图象，如图.方程f(x)＝－14x＋a的解的个数，即为函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－14x＋a的公共点的个数.当直线l经过点A时，有2＝－14×1＋a，a＝94；当直线l经过点B时，有1＝－14×1＋a，a＝54；由图可知，a∈54，94时，函数y＝f(x)的图象与l恰有两个交点.另外，当直线l与曲线y＝1x，x1相切时，恰有两个公共点，此时a0.联立y＝1x，y＝－14x＋a，得1x＝－14x＋a，即14x2－ax＋1＝0，由Δ＝a2－4×14×1＝0，得a＝1(舍去负根).综上，a∈54，94∪{1}.(2)(2022·湖北九市联盟质量检测)若函数f(x)＝x3－3x＋1－a，x＞0，x3＋3x2－a，x≤0恰有3个零点，则实数a的取值范围为________.答案(－1，0)∪[1，4)解析设g(x)＝x3－3x＋1，x＞0，x3＋3x2，x≤0，由题意得f(x)有3个零点，等价于g(x)的图象与直线y＝a有3个交点.g′(x)＝3x2－3，x＞0，3x2＋6x，x≤0，∴g(x)的极大值g(－2)＝4，极小值g(1)＝－1，又g(0)＝0，03－3×0＋1＝1，故可作出此函数的图象，如图所示，∴a∈(－1，0)∪[1，4).角度2根据零点的范围求参数例3若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________.答案14，12解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，需满足m≠2，f（－1）·f（0）0，f（1）·f（2）0，m≠2，[m－2－m＋（2m＋1）]（2m＋1）0，[m－2＋m＋（2m＋1）][4（m－2）＋2m＋（2m＋1）]0，解得14m12.感悟提升(1)已知函数的零点求参数，主要方法有：①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合；③分离参数，转化为求函数的最值.(2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.(3)函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养.训练2(1)已知函数f(x)＝ex＋a，x≤0，3x－1，x0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A.(－∞，－1)B.(－∞，1)C.(－1，0)D.[－1，0)答案D解析当x0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝13.因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a0.(2)已知函数f(x)＝exx－a.若f(x)没有零点，则实数a的取值范围是()A.[0，e)B.(0，1)C.(0，e)D.[0，1)答案A解析法一设g(x)＝exx，则g′(x)＝（x－1）exx2(x≠0).∴g(x)的单增区间为(1，＋∞)，单减区间为(－∞，0)，(0，1)，∴g(x)的图象如图所示，故a的