第4节 基本不等式

第4节基本不等式考试要求1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.1.基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.1.ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.ab≤a＋b22≤a2＋b22.3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(3)函数y＝sinx＋4sinx，x∈0，π2的最小值是4.()(4)“x＞0且y＞0”是“yx＋xy≥2”的充要条件.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，a＋b2≥ab成立的条件是a＞0，b＞0.(2)由于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y＝x＋1x无最小值.(3)sinx＋4sinx的最小值不为4.(4)“yx＋xy≥2”的充要条件是xy＞0.2.(易错题)当x＜0时，函数y＝x＋4x()A.有最大值－4B.有最小值－4C.有最大值4D.有最小值4答案A解析y＝x＋4x＝－（－x）＋－4x≤－2（－x）×－4x＝－4.当且仅当x＝－2时等号成立，故选A.3.(易错题)函数y＝x(3－2x)的最大值为()A.3B.94C.92D.98答案D解析y＝x(3－2x)≤12·2x＋3－2x22＝98.当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时等号成立.4.(2022·滨州三校联考)若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a等于()A.1＋2B.1＋3C.3D.4答案C解析当x2时，x－20，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2（x－2）×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.5.(2021·长沙月考)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则当这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.答案15152解析设矩形的长为xm，宽为ym.则x＋2y＝30(0＜x≤18)，所以S＝xy＝12x·(2y)≤12x＋2y22＝2252，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝152时取等号.6.(2021·天津卷)若a＞0，b＞0，则1a＋ab2＋b的最小值为________.答案22解析∵a＞0，b＞0，∴1a＋ab2＋b≥21a·ab2＋b＝2b＋b≥22b·b＝22，当且仅当1a＝ab2且2b＝b，即a＝b＝2时等号成立，∴1a＋ab2＋b的最小值为22.考点一利用基本不等式求最值角度1配凑法例1(1)已知0＜x＜22，则x1－2x2的最大值为________.答案24解析∵0＜x＜22，∴1－2x2＞0，x1－2x2＝22·2x1－2x2≤22·2x2＋1－2x22＝24.当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝12时等号成立.(2)已知x＞54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最小值为________.答案5解析∵x＞54，∴4x－5＞0，∴f(x)＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3≥21＋3＝5，当且仅当4x－5＝14x－5，即x＝32时取等号.(3)已知函数f(x)＝－x2x＋1(x－1)，则()A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值－4C.f(x)有最大值4D.f(x)有最大值－4答案A解析f(x)＝－x2x＋1＝－x2－1＋1x＋1＝－x－1＋1x＋1＝－x＋1＋1x＋1－2＝－(x＋1)＋1－（x＋1）＋2.因为x－1，所以x＋10，－(x＋1)0，所以f(x)≥21＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝1－（x＋1），即x＝－2时，等号成立.故f(x)有最小值4.角度2常数代换法例2若直线2mx－ny－2＝0(m＞0，n＞0)过点(1，－2)，则1m＋2n的最小值为()A.2B.6C.12D.3＋22答案D解析因为直线2mx－ny－2＝0(m＞0，n＞0)过点(1，－2)，所以2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1，所以1m＋2n＝1m＋2n(m＋n)＝3＋nm＋2mn≥3＋22，当且仅当nm＝2mn，即n＝2m时取等号，所以1m＋2n的最小值为3＋22.角度3消元法例3已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.答案6解析法一(换元消元法)由已知得x＋3y＝9－xy，∵x0，y0，∴x＋3y≥23xy，∴3xy≤x＋3y22，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴x＋3y＋13x＋3y22≥9，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t0且t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y的最小值为6.法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y1＋y，∴x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9－3y＋3y（1＋y）1＋y＝9＋3y21＋y＝3（1＋y）2－6（1＋y）＋121＋y＝3(1＋y)＋121＋y－6≥23（1＋y）·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即x＝3，y＝1时等号成立，∴x＋3y的最小值为6.感悟提升1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求ax＋by的最值”的问题，先将ax＋by转化为ax＋by·x＋yt，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.训练1(1)已知0＜x＜2，则x(5－2x)的最大值为________.答案258解析因为0＜x＜2，所以2x＞0，5－2x＞0，则x(5－2x)＝12·2x·(5－2x)≤12·2x＋（5－2x）22＝12×254＝258，当且仅当2x＝5－2x，即x＝54时等号成立，故x(5－2x)的最大值为258.(2)正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为________.答案152105解析∵1－xy＝4x2＋y2≥4xy，∴5xy≤1，∴xy≤15，当且仅当y＝2x时取等号.∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，∴(2x＋y)2－1＝3xy＝32·2x·y≤322x＋y22，即(2x＋y)2－1≤38(2x＋y)2，∴(2x＋y)2≤85，∴2x＋y≤2105，当且仅当2x＝y时取等号.(3)(2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.答案45解析由题意知y≠0.由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝1－y45y2，所以x2＋y2＝1－y45y2＋y2＝1＋4y45y2＝151y2＋4y2≥15×21y2×4y2＝45，当且仅当1y2＝4y2，即y＝±22时取等号，所以x2＋y2的最小值为45.考点二基本不等式的综合应用角度1与其他知识交汇的最值问题例4已知D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足AM→＝αAB→＋βAC→，则1α＋2β的最小值为________.答案6＋42解析由于M是线段DE上的一动点(不包含D，E两点)，D，E分别是AB，AC的中点，则AM→＝αAB→＋βAC→＝2αAD→＋2βAE→，所以α，β＞0且2α＋2β＝1.1α＋2β＝1α＋2β(2α＋2β)＝6＋2βα＋4αβ≥6＋42，当且仅当α＝2－12，β＝2－22时取等号，故1α＋2β的最小值为6＋42.角度2求参数值或取值范围例5(2022·杭州调研)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为()A.2B.22C.4D.92答案B解析∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，∴m2＋2n2≥amn，即a≤m2＋2n2mn＝mn＋2nm恒成立，∵mn＋2nm≥2mn·2nm＝22，当且仅当mn＝2nm，即m＝2n时取等号，∴a≤22，故实数a的最大值为22，故选B.感悟提升(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围.训练2(1)设0＜m＜12，若1m＋21－2m≥k2－2k恒成立，则k的取值范围为________.答案[－2，4]解析由于0＜m＜12，则1m＋21－2m＝1m（1－2m）＝22m（1－2m），而1－2m＞0，且2m＋(1－2m)＝1，由基本不等式可得2m＋(1－2m)≥22m×（1－2m），所以2m×(1－2m)≤2m＋（1－2m）22＝14，所以22m（1－2m）≥214＝8.当且仅当2m＝1－2m，即m＝14时取等号.由已知不等式恒成立可知k2－2k≤1m＋21－2mmin＝8，即k2－2k≤8，解得－2≤k≤4.(2)设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则Sn＋8an的最小值是________.答案92解析因为an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝n（1＋n）2，所以Sn＋8an＝n（1＋n）2＋8n＝12n＋16n＋1≥122n·16n＋1＝92，当且仅当n＝16n，即n＝4时取等号，所以Sn＋8an的最小值是92.考点三基本不等式的实际应用例6要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元答案C解析由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，所以底面积S＝4m2，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是4xm，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×(2x＋8x)≥80＋202x·8x＝160，当且仅当2x＝8x，即x＝2时取得等号.感悟提升(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.训练3某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.答案30解析由题意得，一年购买600x次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x＝4900x＋x≥8900x·x＝240(万元)，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小