第4节 复数

第4节复数考试要求1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.复数的有关概念(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R).2.复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ→＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.3.复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→.1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.3.复数的模与共轭复数的关系z·z－＝|z|2＝|z－|2.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.2.(2021·北京卷)在复平面内，复数z满足(1－i)·z＝2，则z＝()A.1B.iC.1－iD.1＋i答案D解析由题意可得z＝21－i＝2·（1＋i）（1－i）（1＋i）＝1＋i.3.(2021·新高考Ⅱ卷)复数2－i1－3i在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A解析2－i1－3i＝（2－i）（1＋3i）（1－3i）（1＋3i）＝5＋5i10＝1＋i2，所以该复数在复平面内对应的点为12，12，该点在第一象限.4.(2021·上海卷)已知z＝1－3i，则|z－－i|＝________.答案5解析∵z＝1－3i，∴z－＝1＋3i，∴z－－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴|z－－i|＝12＋22＝5.5.已知a＋bi(a，b∈R)是1－i1＋i的共轭复数，则a＋b＝________.答案1解析由1－i1＋i＝（1－i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝－i，得a＋bi＝i，即a＝0，b＝1，则a＋b＝1.6.(易错题)i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m等于________.答案2解析因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，所以2－m＝0，且1＋2m≠0，解得m＝2.考点一复数的概念1.(2022·北京朝阳区一模)如果复数2＋bii(b∈R)的实部与虚部相等，那么b＝()A.－2B.1C.2D.4答案A解析2＋bii＝（2＋bi）（－i）i（－i）＝b－2i，所以实部为b，虚部为－2，故b的值为－2，故选A.2.(多选)若复数z＝21＋i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是()A.z的虚部为－1B.|z|＝2C.z2为纯虚数D.z的共轭复数为－1－i答案ABC解析z＝21＋i＝2（1－i）（1＋i）（1－i）＝2－2i2＝1－i，对于A，z的虚部为－1，正确；对于B，模长|z|＝2，正确；对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；对于D，z的共轭复数为1＋i，错误.3.(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是()A.若|z1－z2|＝0，则z－1＝z－2B.若z1＝z－2，则z－1＝z2C.若|z1|＝|z2|，则z1·z－1＝z2·z－2D.若|z1|＝|z2|，则z21＝z22答案ABC解析对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以z－1＝z－2为真；对于B，若z1＝z－2，则z1和z2互为共轭复数，所以z－1＝z2为真；对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，若|z1|＝|z2|，则a21＋b21＝a22＋b22，即a21＋b21＝a22＋b22，所以z1·z－1＝a21＋b21＝a22＋b22＝z2·z－2，所以z1·z－1＝z2·z－2为真；对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，而z21＝1，z22＝－1，所以z21＝z22为假.故选ABC.4.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________.答案－1解析∵z为纯虚数，∴x2－1＝0，x－1≠0，∴x＝－1.感悟提升1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为z－＝a－bi，则z·z－＝|z|2＝|z－|2，即|z|＝|z－|＝z·z－，若z∈R，则z－＝z.考点二复数的四则运算例1(1)(2021·辽宁百校联盟质检)1－i2＋3i＝()A.113＋513iB.113－513iC.－113＋513iD.－113－513i答案D解析原式＝（1－i）（2－3i）（2＋3i）（2－3i）＝2－3－2i－3i22＋32＝－113－513i.(2)(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝()A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i答案C解析因为iz＝4＋3i，所以z＝4＋3ii＝（4＋3i）（－i）i（－i）＝－4i－3i2－i2＝3－4i.(3)(2021·全国乙卷)设2(z＋z－)＋3(z－z－)＝4＋6i，则z＝()A.1－2iB.1＋2iC.1＋iD.1－i答案C解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi，代入2(z＋z－)＋3(z－z－)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.感悟提升(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.训练1(1)(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝()A.－1－32iB.－1＋32iC.－32＋iD.－32－i答案B解析z＝3＋2i（1－i）2＝3＋2i－2i＝3i－22＝－1＋32i.(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(z－＋i)＝()A.6－2iB.4－2iC.6＋2iD.4＋2i答案C解析因为z＝2－i，所以z(z－＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.(3)(多选)(2022·湛江一模)若复数z＝3－i，则()A.|z|＝2B.|z|＝4C.z的共轭复数z－＝3＋iD.z2＝4－23i答案AC解析依题意得|z|＝（3）2＋（－1）2＝2，故A正确，B错误；z－＝3＋i，C正确；z2＝(3－i)2＝3－23i＋i2＝2－23i，D错误.考点三复数的几何意义例2(1)(2021·珠海一模)设i是虚数单位，复数z1＝i2021，复数z2＝|4－3i|4＋3i，则z1＋z2在复平面上对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A解析因为复数z1＝i2021＝i，z2＝|4－3i|4＋3i＝5（4－3i）25＝45－35i，所以z1＋z2＝45＋25i，故z1＋z2在复平面上对应的点为45，25，在第一象限.(2)(2021·衡水联考)已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R)，则|z|的最小值为()A.12B.22C.32D.1答案B解析因为z＝a＋(a－1)i，所以|z|＝a2＋（a－1）2＝2a－122＋12≥22，所以|z|的最小值为22.(3)(多选)(2021·德州二模)已知复数z1＝2－1＋i(i为虚数单位)，下列说法正确的是()A.z1对应的点在第三象限B.z1的虚部为－1C.z41＝4D.满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上答案AB解析由题意，复数z1＝2－1＋i＝2（－1－i）（－1＋i）（－1－i）＝－1－i，所以复数z1在复平面内对应的点是(－1，－1)，位于第三象限，所以A正确；复数z1的虚部为－1，所以B正确；z41＝(－1－i)4＝[(－1－i)2]2＝(2i)2＝－4，所以C不正确；由|z1|＝（－1）2＋（－1）2＝2，得满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，所以D不正确.感悟提升1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)OZ→＝(a，b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.训练2(1)(2022·长沙一模)已知复数z＝2－i1＋i，则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D解析因为z＝2－i1＋i＝（2－i）（1－i）2＝12－32i，所以复数z在复平面内对应的点为12，－32，在第四象限.(2)若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a的取值范围为()A.(－2，2)B.(－2，0)C.(0，2)D.[0，2)答案B解析z＝(2＋ai)(a－i)＝3a＋(a2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴3a0，a2－20，解得－2a0.(3)如图，若向量OZ→对应的复数为z，则z＋4z表示的复数为()A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i答案D解析由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋4z＝1－i＋41－i＝1－i＋4（1＋i）（1－i）（1＋i）＝1－i＋4＋4i2＝1－i＋2＋2i＝3＋i.考点四复数与方程例3已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.(1)求实数a，b的值；(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.解(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，∴－a＋b＝0，a－2＝0，解得a＝2，b＝2.(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，∴x2＝－1－i是方程的另一个根.感悟提升(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.训练3在复数集内解方程x2－ix＋i－1＝0.解因为a＝1，b＝－i，c＝i－1，所以Δ＝(－i)2－4×1×(i－1)＝3－4i.设(m＋ni)2＝3－4i，则m2－n2＝3，2mn＝－4，解得m＝2，n＝－1，或m＝－2，n＝1.所以3－4i的平方根为±(2－i)，所以x＝－b＋“Δ的平方根”2a＝i±（2－i）2×1，得x1＝i＋2－i2＝1，x2＝i－2＋i2＝－1＋i，即原方程的根为x