第8章　§8.10　圆锥曲线中求值与证明问题

1．(2023·晋中模拟)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)经过点P1，22，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A，B两点，且AF→＝2FB→，求|AB|.2．(2022·郑州模拟)如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B.(1)证明：直线BC∥x轴；(2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF.证明：||AF|－|BF||＝8.3．(2023·南通调研)在平面直角坐标系Oxy中，已知离心率为12的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，过右焦点F的动直线l与椭圆C交于M，N两点，△ABM的面积最大值为23.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线AM与定直线x＝t(t2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值．4．(2022·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±3x.(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1x20，y10.过P且斜率为－3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．