第10章　§10.3　二项式定理

§10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝(n∈N*)二项展开式的通项Tk＋1＝，它表示展开式的第项二项式系数(k＝0,1，…，n)2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝.常用结论1．C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.2．Cmn＋1＝Cm－1n＋Cmn.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Cknan－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．()(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．()(3)通项公式Tk＋1＝Cknan－kbk中的a和b不能互换．()(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．()教材改编题1.1x－x10的展开式中x2的系数等于()A．45B．20C．－30D．－902．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝243，则C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn等于()A．31B．32C．15D．163．若x＋1xn的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．题型一通项公式的应用命题点1形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项例1(1)二项式1x－x210的展开式中的常数项是()A．－45B．－10C．45D．65(2)已知x－ax5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝__________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式问题例2(1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()A．56B．84C．112D．168(2)在(2x＋a)x＋2x6的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为()A．3204B．－160C．160D．－320听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰ)1－yx(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．(2)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．题型二二项式系数与项的系数问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)在3x－1xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则()A．二项式系数和为32B．各项系数和为128C．常数项为－135D．常数项为135(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2系数与二项式系数的最值问题例4(多选)(2023·唐山模拟)下列关于1x－2x6的展开式的说法中正确的是()A．常数项为－160B．第4项的系数最大C．第4项的二项式系数最大D．所有项的系数和为1听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)－g(－1)]．跟踪训练2(1)(多选)对于x2－3x6的展开式，下列说法正确的是()A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为64C．常数项为1215D．系数最大的项为第3项(2)设()2＋x10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________．题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a等于()A．0B．1C．11D．12(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋Cn－1n·11－1除以13的余数是()A．－3B．2C．10D．11(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A．0.940B．0.941C．0.942D．0.943