第6章　§6.2　等差数列

§6.2等差数列考试要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识梳理1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，定义表达式为．(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝.(2)前n项和公式：Sn＝或Sn＝.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，Snn为等差数列．常用结论1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.()(4)若无穷等差数列{an}的公差d0，则其前n项和Sn不存在最大值．()教材改编题1．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于()A．－2B．－1C．1D．22．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于()A．12B．8C．20D．163．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________．题型一等差数列基本量的运算例1(1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{an}中，a25＝a3a6，若该数列的前n项和Sn＝0，则n等于()A．10B．11C．12D．13(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.跟踪训练1(1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)()A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸(2)数列2an＋1是等差数列，且a1＝1，a3＝－13，那么a2024＝________.题型二等差数列的判定与证明例2(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等差数列；②数列{Sn}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法．(2)等差中项法．(3)通项公式法．(4)前n项和公式法．跟踪训练2已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝b2n＋1－b2n，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；(2)若a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三等差数列的性质命题点1等差数列项的性质例3(1)已知在等差数列{an}中，若a8＝8且log2(1211222aaa…)＝22，则S13等于()A．40B．65C．80D．40＋log25(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2024－b2024的值为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋an2相结合．跟踪训练3(1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于()A．2B．3C．4D．5(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{an}满足a8a5＝－2，则下列结论一定成立的是()A.a9a4＝－1B.a8a3＝－1C.a9a3＝－1D.a10a4＝－1命题点2等差数列前n项和的性质例4(1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有SnTn＝2n－34n－3，则a2b3＋b13＋a14b5＋b11的值为()A.2945B.1329C.919D.1930(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为()A．30B．29C．28D．27听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华等差数列前n项和的常用的性质是：在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.跟踪训练4(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，则m等于()A．6B．10C．20D．40(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2020，S20202020－S20142014＝6，则S2023等于()A．2023B．－2023C．4046D．－4046