第2章　§2.2　函数的单调性与最值

§2.2函数的单调性与最值考试要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增当x1x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D，都有；(2)∃x0∈D，使得(1)∀x∈D，都有；(2)∃x0∈D，使得结论M为f(x)的最大值M为f(x)的最小值常用结论1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有fx1－fx2x1－x20(0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0(0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．3．函数y＝f(x)(f(x)0或f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1fx的单调性相反．4．复合函数的单调性：同增异减．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)因为f(－3)f(2)，则f(x)在[－3,2]上是增函数．()(2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．()(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．()(4)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()教材改编题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝x2－1B．y＝x3C．y＝2xD．y＝－x＋22．y＝x－1x－2在[3,4]上的最大值为()A．2B.32C.52D．43．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)f13的x的取值范围是________．题型一确定函数的单调性命题点1函数单调性的判断例1(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝ex－e－xB．y＝|x2－2x|C．y＝2x＋2cosxD．y＝x2＋x－2听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2利用定义证明函数的单调性例2试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．跟踪训练1(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为()A.－∞，12B.12，1C．[1，＋∞)D.－∞，12∪[1，＋∞)(2)函数f(x)＝222xx－－的单调递增区间是()A．[－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．(－∞，0)D．(0，＋∞)题型二函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(2023·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0成立，若a＝f(ln2)，b＝13(3)f，c＝13(e)f，则a，b，c的大小关系是()A．cbaB．acbC．abcD．cab听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2求函数的最值例4函数f(x)＝x2－2x－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3解函数不等式例5已知函数f(x)＝13x－log2(x＋2)，若f(a－2)3，则a的取值范围是________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点4求参数的取值范围例6已知函数f(x)＝x2－2ax，x≥1，ax－1，x1是R上的增函数，则实数a的取值范围是()A.0，23B.0，23C．(0,1)D．(0,1]听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)(2023·兰州模拟)设函数f(x)＝－x2＋4x－3，x≤2，log2x，x2，则满足不等式f(2x－1)2的解集是()A.－∞，32B.2，52C.32，2D.－∞，52(2)若函数f(x)＝x＋a－3x－1在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．