第5节 椭圆

第5节椭圆考试要求1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1.椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b21.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)中：(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝2b2a.4.AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－b2x0a2y0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(3)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆.()(4)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相同.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.(2)因为e＝ca＝a2－b2a＝1－ba2，所以e越大，则ba越小，椭圆就越扁.2.(2021·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A.长轴长为12B.焦距为34C.短轴长为14D.离心率为32答案D解析把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得x2116＋y214＝1，所以a＝12，b＝14，c＝34，则长轴长2a＝1，焦距2c＝32，短轴长2b＝12，离心率e＝ca＝32，故选D.3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A.13B.12C.9D.6答案C解析由椭圆C：x29＋y24＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤|MF1|＋|MF2|22＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.4.(2022·广东六校联考)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1答案D解析由题意可知，椭圆E的半焦距c＝3，所以a2－b2＝9①.因为直线AB经过点(1，－1)，F(3，0)，所以kAB＝－1－01－3＝12.设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减，得（x1－x2）（x1＋x2）a2＋（y1－y2）（y1＋y2）b2＝0.因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，且kAB＝y1－y2x1－x2＝12，所以b2a2＝12，即a2＝2b2②.由①②，得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的方程为x218＋y29＝1.5.(易错题)已知椭圆x25＋y2m＝1(m0)的离心率e＝105，则m的值为________.答案3或253解析若a2＝5，b2＝m，则c＝5－m，由ca＝105，即5－m5＝105，解得m＝3.若a2＝m，b2＝5，则c＝m－5.由ca＝105，即m－5m＝105，解得m＝253.综上，m＝3或253.6.若方程x2m＋y22m－1＝1表示椭圆，则m满足的条件是___________________.答案m|m＞12且m≠1解析由方程x2m＋y22m－1＝1表示椭圆，知m＞0，2m－1＞0，m≠2m－1，解得m＞12且m≠1.考点一椭圆的定义及应用1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案A解析连接QA(图略).由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.2.设P是椭圆x216＋y29＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为________.答案60°解析由椭圆x216＋y29＝1，可得2a＝8，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m＋n＝2a＝8，mn＝12，4c2＝28＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，化简可得cos∠F1PF2＝12，∴∠F1PF2＝60°.3.设点P为椭圆C：x2a2＋y24＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________.答案433解析由题意知，c＝a2－4.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2a2－4，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P|·|PF2|－2|F1P|·|PF2|cos60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，∴|F1P|·|PF2|＝163，∴S△PF1F2＝12|F1P|·|PF2|sin60°＝12×163×32＝433.4.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.答案6＋26－2解析椭圆方程化为x29＋y25＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，∴|AF1|＝2，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，∴6－2≤|PA|＋|PF|≤6＋2.感悟提升椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.考点二椭圆的标准方程例1求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；(3)经过点P(－23，1)，Q(3，－2)两点；(4)与椭圆x24＋y23＝1有相同离心率，且经过点(2，－3).解(1)若焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，∵椭圆过点A(3，0)，∴9a2＝1得a＝3，∵2a＝3×2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1，若焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，∵椭圆过点A(3，0)，∴9b2＝1得b＝3，又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上所述，椭圆方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.(2)由已知，有a＝2c，a－c＝3，解得a＝23，c＝3，b2＝9，∴所求椭圆方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.(3)设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则有12m＋n＝1，3m＋4n＝1，解得m＝115，n＝15，则所求椭圆方程为x215＋y25＝1.(4)椭圆x24＋y23＝1的离心率是e＝12，当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程是x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，∴ca＝12，a2＝b2＋c2，4a2＋3b2＝1，解得a2＝8，b2＝6，∴所求椭圆方程为x28＋y26＝1.当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，∴ca＝12，a2＝b2＋c2，3a2＋4b2＝1，a2＝253，b2＝254，∴椭圆的标准方程为y2253＋x2254＝1，故所求椭圆标准方程为x28＋y26＝1或y2253＋x2254＝1.感悟提升(1)利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.(2)椭圆的标准方程的两个应用①方程x2a2＋y2b2＝1与x2a2＋y2b2＝λ(λ＞0)有相同的离心率.②与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为x2a2＋k＋y2b2＋k＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.训练1(1)(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为()A.x2100＋y284＝1B.x225＋y29＝1C.x284＋y2100＝1D.x29＋y225＝1答案BD解析因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以2a＝10，c＝4，解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆方程为x225＋y29＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆方程为x29＋y225＝1.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.答案y220＋x24＝1解析设所求椭圆方程为y225－k＋x29－k＝1(k9)，将点(3，－5)的坐标代入可得（－5）225－k＋（3）29－k＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.考点三椭圆的简单几何性质角度1离心率例2(1)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14答案D解析如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝3，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝|PB||AB|＝3a＋2＝36，解得a＝4，所以e＝ca＝14.(2)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.答案33解析由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中