第2章　§2.7　指数与指数函数

§2.7指数与指数函数考试要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.(2)式子na叫做，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(na)n＝.当n为奇数时，nan＝，当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：mna＝(a0，m，n∈N*，n1)．正数的负分数指数幂：mna－＝＝1nam(a0，m，n∈N*，n1)．0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝；(ar)s＝；(ab)r＝(a0，b0，r，s∈Q)．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是.(2)指数函数的图象与性质a10a1图象定义域值域性质过定点，即x＝0时，y＝1当x0时，；当x0时，当x0时，；当x0时，在(－∞，＋∞)上是_______在(－∞，＋∞)上是_______常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，－1，1a.2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则cd1ab0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象越高，底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)4－44＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)函数y＝13x－1的值域是(0，＋∞)．()(4)若aman(a0，且a≠1)，则mn.()教材改编题1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于()A．不确定B．0C．1D．22．计算：22232713－－＋－－＝________.3．若指数函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.题型一指数幂的运算例1计算：(1)(－1.8)0＋32－2·33382－10.01＋93；(2)3112123324140.1abab(a0，b0)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1计算：(1)933713332÷·aaaa；(2)013633470.001+16+238.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二指数函数的图象及应用例2(1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是()A．abB．若a0，则ba0C．|a||b|D．若0alog32，则abba(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1B．0a1C．b0D．b0题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式大小例3设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则()A．bcaB．cabC．abcD．bac听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2解简单的指数方程或不等式例4(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是()A．[2,4]B．(－∞，0)C．(0,1)∪[2,4]D．(－∞，0]∪[1,2]听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)＝8x＋a·2xa·4x(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．(1)求a的值；(2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3(1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝3x－13x＋1，下列说法正确的有()A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的值域为(－1,1)D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，fx1－fx2x1－x20(2)已知函数f(x)＝24313axx－＋，若f(x)有最大值3，则a的值为________．