第1章　§1.5　一元二次方程、不等式

§1.5一元二次方程、不等式考试要求1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)，不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根不等式的解集{x|x≠－b2a}R2．分式不等式与整式不等式(1)fxgx0(0)⇔；(2)fxgx≥0(≤0)⇔.3．简单的绝对值不等式|x|a(a0)的解集为，|x|a(a0)的解集为．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则a0.()(3)若ax2＋bx＋c0恒成立，则a0且Δ0.()(4)不等式x－ax－b≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.()教材改编题1．不等式x－3x－20的解集为()A．∅B．(2,3)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，＋∞)2．已知2x2＋kx－m0的解集为(t，－1)(t－1)，则k＋m的值为()A．1B．2C．－1D．－23．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋14≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．题型一一元二次不等式的解法命题点1不含参数的不等式例1(1)不等式|x|(1－2x)0的解集是()A.－∞，12B.0，12C．(－∞，0)∪12，＋∞D．(－∞，0)∪0，12(2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是()A．a0B．不等式bx＋c0的解集是{x|x－6}C．a＋b＋c0D．不等式cx2－bx＋a0的解集为－∞，－13∪12，＋∞听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2含参数的一元二次不等式例2已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.(1)若不等式f(x)0的解集为x－23x4，求a的值；(2)当a0时，求关于x的不等式f(x)0的解集．________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1解关于x的不等式．(1)2x－13x＋11；(2)m0时，mx2－mx－12x－3.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上恒成立问题例3(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－30恒成立，则实数k可以是()A．0B．－24C．－20D．－2听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2在给定区间上恒成立问题例4已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3在给定参数范围内的恒成立问题例5(2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是()A．[－1,3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2(1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是()A．{a|a－2或a≥2}B．{a|－2a2}C．{a|－2a≤2}D．{a|a2}(2)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则()A．a≤2B．a≥2C．a≤52D．a≥52