第2章　§2.4　函数的对称性

§2.4函数的对称性考试要求1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．知识梳理1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于对称，偶函数关于对称．(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为．2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点对称．3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．()(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．()(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．()(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．()教材改编题1．函数f(x)＝x＋1x图象的对称中心为()A．(0,0)B．(0,1)C．(1,0)D．(1,1)2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.题型一轴对称问题例1(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2023)等于()A．－2B．2C．0D．－4(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(x－1)f(1)的解集为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2成轴对称．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是()A．f(－1)f(1)f(2)B．f(1)f(2)f(－1)C．f(2)f(－1)f(1)D．f(－1)f(2)f(1)(2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥12时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为()A．2B．3C．4D．－1题型二中心对称问题例2(1)(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是()A．f(x)＝f(－x)B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0C．f(－x)＝－f(x＋4)D．f(x＋2)＝f(x－2)(2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝1x＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点a＋b2，c2成中心对称．跟踪训练2(1)函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于()A．点(－2,0)对称B．直线x＝－2对称C．点(2,0)对称D．直线x＝2对称(2)(2023·郑州模拟)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋1题型三两个函数图象的对称例3已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于直线x＝3对称C．关于直线y＝3对称D．关于点(3,0)对称听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b－a2对称．跟踪训练3设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象()A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于直线x＝1对称D．关于直线y＝1对称