单元提升卷07 平面向量与复数（解析版）

单元提升卷07平面向量与复数（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．3i12i（）A．13i55B．13i55C．13i22D．13i55【答案】B【分析】根据虚数单位的性质以及复数的除法运算，即可求得答案.【详解】由题意得3i1(i1)(2i)13i13i2i5555，故选：B2．如图，在梯形ABCD中，2BCAD，DEEC，设BAa，BCb，则BE（）A．1124abB．1536abC．1324abD．2233ab【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得答案.【详解】由题意DEEC得E为CD中点，故)111((22)2BEBCBDBCBAAD111132224122BBCBABACBC1324ab，故选：C3．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量,mab与cos,sinnABr平行．若2c，2b，则BC边上的中线AD为（）A．1B．2C．10D．102【答案】D【分析】根据向量平行列方程，利用平方的方法求得AD.【详解】由于向量,mab与cos,sinnABr平行，所以sincosaBbA，由正弦定理得sinsinsincosABBA，由于sin0B所以sincosAA，由于0πA，所以π4A.1=2ADABAC，两边平方得2221=24ADABABACAC1π105=4222cos2==4442，所以10=2AD.故选：D4．已知两个单位向量,ab满足aba．则向量a与ab的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【答案】B【分析】由已知求得aab，再由数量积求向量的夹角公式求解．【详解】由已知可得，1ba，由aba，得222||2||||aabba，则12ab，211||122aabaab，112cos112,aabaabaab，0,π,aab，∴向量a与ab的夹角为π3.故选：B5．已知复数1z，2z是关于x的方程210xbx22,Rbb的两根，则下列说法中不正确的是（）A．12zzB．12RzzC．121zzD．若1b，则33121zz【答案】B【分析】在复数范围内解方程得1z，2z，然后根据复数的概念、运算判断各选项．【详解】对于关于x的方程210xbx，则240b，∴24i2bbx，不妨设214i22bbz，224i22bbz，12zz，故A正确；222124122bbzz，故C正确；121zz，∴222211121224i22zzbbbzzzz，当0b时，12Rzz，故B错误；当1b时，113i22z，213i22z，所以212113i22zzz，2212zzz，31121zzz，同理321z，故D正确．故选：B．6．设M为函数23fxx（02x）图象上一点，点0,1N，O为坐标原点，33OM，NONM的值为（）A．-4B．17C．4D．1【答案】A【分析】由数量积的定义表示求出1MNONMy，再利用条件33OM，结合点M在函数23fxx（02x）图象上，可求出点M，从而解决问题.【详解】设点(,)MMMxy，则()0,1NO=-，(),1MMNMxy=-，coscosπNONMNONMONMNMONM11MMyNMyNM，又222233MMOMxy，则22333MMyy可得2300MMyy，又02x，则37y，解得5My，所以4NONM.故选：A7．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为1F，2F，且12FF，1F与2F的夹角为.给出以下结论：①越大越费力，越小越省力；②的范围为0,π；③当π2时，1FG；④当2π3时，1FG.其中正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解.【详解】对于②，当π时120FF，故无法抬动物体，故②错误；对于①，根据题意，得12GFF，所以2222121212cos2(1cos)GFFFFF，解得2212(1cos)GF，因为(0,π)时，cosy单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故①正确；对于③，因为2212(1cos)GF，所以当π2时，2212GF，所以122FG，故③错误；对于④，因为2212(1cos)GF，所以当2π3时，221FG，所以1FG，故④正确.故选：B.8．在ABC中，2AB，3AC，60A.若P，Q分别为边AB，AC上的点，且满足APABuuuruuur，15AQAC，则BQCP的最大值为（）A．8615B．295C．234D．6【答案】A【分析】根据平面向量基底法进行转化并结合数量积运算公式、二次函数相关知识求解即可.【详解】由题意得，BQAQAB，CPAPAC，因为APABuuuruuur，15AQAC，所以15BQACAB，CPABAC，所以222111555BQCPACABABACACABABAC，因为222214cos9602332ACACABABABACABAC，，，所以22341931655455BQCP，函数23460155y开口向下，对称轴为4253325，当23时，取最大值232424866653531515y.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列与平面向量相关的结论正确的是（）．A．在四边形ABCD中，若ABDC，则该四边形为平行四边形B．对任意一个等边ABC，ABBCCA都成立C．对于非零向量a，b，abab成立的充要条件是a，b方向相同D．对于非零向量a，b，abab成立的充要条件是a，b方向相同【答案】AD【分析】根据向量相等的定义，以及向量数量积的公式，即可判断选项.【详解】A.由向量相等可知，//ABDC，且ABDC，所以四边形为平行四边形，故A正确；B.对任意一个等边ABC，应是ABBCCA都成立，故B错误；C.因为cos,ababab，所以cos,ababab，若abab，则cos,1ab，则,0ab或180，即a，b方向相同或相反，反过来，a，b方向相同，则cos,1ab，即abab，所以应是充分不必要条件，故C错误；D.对于非零向量a，b，abab成立的充要条件是a，b方向相同，故D正确.故选：AD10．已知复数112zi，复数z满足12zz，则（）A．115zzB．5252zC．复数1z在复平面内所对应的点的坐标是()1,2-D．复数z在复平面内所对应的点为,Zxy，则22(1)(2)2xy【答案】AB【分析】根据共轭复数的定义以及复数的几何意义即可判断BCD，根据复数的乘法计算即可求解B.【详解】由已知112iz，其对应点坐标为(1,2)，C错；2211125zz，A正确；由12zz知z对应的点在以1z对应点为圆心，2为半径的圆上，1||5z，因此5252z，B正确；1z对应点坐标为(1,2)，因此22(1)(2)4xy,故D错误，故选：AB.11．已知点O为ABC所在平面内一点，且3240OAOBOC，则下列选项正确的是（）A．直线AO不过BC边的中点B．:2:1△△AOBAOCSSC．若||||||1OAOBOC，则316OCABD．1239AOABAC【答案】ABC【分析】利用向量加法法则结合向量线性运算计算判断D；假定AO过BC的中点，利用平面向量基本定理判断A；取点,,ABC使得3,2,4OAOAOBOBOCOC，结合重心性质计算判断B，利用数量积及运算律计算判断C作答.【详解】对于D，3240OAOBOC，因为OAABOB，OCOAAC，所以3240OAOAABOAAC，即9240OAABAC，则924AOABAC，可得2499AOABAC，故D错误；对于A，设BC的中点为D，则12ADABAC.若直线AO过BC的中点，则存在实数满足AOAD，由选项D知，24992AOABACABAC，而AB与AC不共线，则有229且429，无解，即不存在，AO不过BC边的中点，故A正确；对于B，取点,,ABC使得3,2,4OAOAOBOBOCOC，则0OAOBOC，即点O为ABC的重心，如图，则13BOCAOCAOBABCSSSS.而1sin12112sin2AOCAOCOAOCAOCSOAOCSOAOCOAOCAOC，同理可得16△△AOBAOBSS，因此16:2112△△△△AOBAOBAOCAOCSSSS，故B正确；对于C，由3240OAOBOC，得432OCOAOB，而||||||1OAOBOC，则222169412OCOAOBOAOB，解得14OAOB，所以2211323244OCABOAOBOBOAOAOBOAOB113324416，故C正确.故选：ABC.12．如图1，甲同学发现家里的地板是正方形的形状，地板的平面简化图如图2所示，四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，且E为AB的中点，则下列各选项正确的是（）A．62AGABB．0AGAEADABC．向量AC在向量AF上的投影向量为65AFD．向量AG在向量AC上的投影向量为34AC【答案】BCD【分析】连接BD，取FG的中点I，取BD的中点O，则O为AC的中点，易得F，G分别是BC，CD的中点．利用勾股定理判断A，根据正方形的性质及向量线性运算判断B，过C作CJAF于J，利用等面积法求出CJ，即可求出AJ，即可判断C，依题意可得ACGF且14CIAC，即可判断D.【详解】如图，连接BD，取FG的中点I，取BD的中点O，则O为AC的中点，易得F，G分别是BC，CD的中点．因为1122DGADAB，所以2252AGADDGAB，即52AGAB，故A错误．易得GCAE，则AGAEAGGCAC，因为DABADB，ACBD，所以0AGAEADABACBD，故B正确．过C作CJAF于J，设2AB，则1CF，5AF，由等面积法得1121522JC，得25CJ，则2215FJCFCJ，所以65AJAF，所以向量AC在向量AF上的投影向量为65AF，故C正确．易得//FGBD，CFCG，所以ACGF