专题突破卷21立体几何的轨迹问题（解析版）

专题突破卷21立体几何的轨迹问题1.已知平行求轨迹1．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E在棱1DD上且满足1DEED，点F是侧面11ABBA上的动点，且1//DF面AEC，则动点F在侧面11ABBA上的轨迹长度为．【答案】52【分析】根据已知，利用面面平行得到线面平行，再根据正方体的性质计算求解.【详解】如图，取11ABBA的中点G，并连接1GD、GB、1BD，因为E在棱1DD上且满足1DEED，即E是棱1DD的中点，所以BGCE//，又BG平面AEC，CE平面AEC，所以//BG平面AEC，同理可证1//DG平面AEC，又1BGGDG，所以平面1//BGD平面AEC，又BG平面1BGD，所以//BG平面AEC，所以动点F在侧面11ABBA上的轨迹即为BG，因为正方体的棱长为1，由勾股定理有：2252BGBAAG.故答案为：52.2．如图，在正三棱柱111ABCABC-中，1ABAA，D，E分别为1AA，AC的中点．若侧面11BBCC的中心为O，M为侧面11AACC内的一个动点，//OM平面BDE，且M的轨迹长度为32，则三棱柱111ABCABC-的表面积为．【答案】4883/8348【分析】连接1CE交1AC于I，取1CE的中点F，过F作1//HGAC，分别交111,CCAC于,HG，连接1,,,,HGOGOFOHBC，由面面平行的判定定理可证得平面//OHG平面BED，所以M的轨迹为线段HG，再由相似比求出AB，即可求出三棱柱111ABCABC-的表面积.【详解】连接1CE交1AC于I，取1CE的中点F，过F作1//HGAC，分别交111,CCAC于,HG，连接1,,,,HGOGOFOHBC，易得//,//OFBEHGDE，因为,OFHG平面BED，,BEDE平面BED，所以//OF平面BED，//HG平面BED，因为OFHGF，且都在面OHG内，所以平面//OHG平面BED，所以M的轨迹为线段HG，因为11CEIACI，所以11111111322,243CECIACCFEICECICE，因为111CGCCAH，所以11134CFHGCACI，所以11142=42,432CAHGABAACA，故三棱柱111ABCABC-的表面积为13244+34448+8322.故答案为：4883.3．如图，在三棱柱111ABCABC－中，M为A1C1的中点N为侧面11BCCB上的一点，且MN//平面1ABC，若点N的轨迹长度为2，则（）A．AC1=4B．BC1＝4C．AB1＝6D．B1C＝6【答案】B【分析】根据面面平行的判定定理证明平面//MDE平面1ABC，再由MN//平面1ABC可得点N的轨迹为线段DE，据此即可得解.【详解】如图，取11BC的中点D，1BB的中点E，连接MD，DE，ME，由11////MDABAB，1//DEBC，又MDË平面1ABC，AB平面1ABC，所以//MD平面1ABC，同理可得//DE平面1ABC，又MDDED，,MDDE平面MDE所以平面//MDE平面1ABC，又//MN平面1ABC，故点N的轨迹为线段DE，又由1122DEBC，可得14BC．故选：B．4．如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为2，E是棱1DD的中点，平面1ABE截正方体1111ABCDABCD所得截面图形的周长为，若F是侧面11CDDC上的动点，且满足1//BF平面1ABE，则点F的轨迹长度为.【答案】3225/25322【分析】由平行线确定一个平面，利用中位线找到截面并求周长；构造面面平行，找到点F的轨迹并求长度.【详解】取CD中点G，连接BG、EG，正方体中，11//BCAD，11BCAD，四边形11BCDA为平行四边形，则11//BACD，E是1DD中点，G是CD中点，11////GECDBA，则等腰梯形1AEGB为截面，而15AEGB，122,2ABEG，故梯形1AEGB的周长为3225；取11CD中点M，1CC中点N，连接11,,,,BMBNMNNEMG，则1111//,=NEABNEAB，故四边形11ABNE为平行四边形，则得11//BNAE，而1BN平面1ABE，1AE平面1ABE，故1BN//平面1ABE，同理1//BM平面1ABE，而111=BNBMB，11,BNBM平面1BMN，故平面1//BMN平面1ABE，∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为2.故答案为：3225；2.5．如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，点E是线段1DD的中点，点M是正方形11BBCC所在平面内一动点，若1//DM平面1ABE，则M点轨迹在正方形11BBCC内的长度为.【答案】52/152【分析】利用面面平行的判定及性质得出结果.【详解】如图，取1BB的中点F，连结11,,FDCCDF，因为1111//,=ADBCADBC，所以四边形11DABC为平行四边形，所以11//ABDC，又1AB平面1ABE，1DC平面1ABE，所以1C//D平面1ABE.因为点E是线段1DD的中点，F为1BB的中点，所以1112DEDD，112BFBB，又1111//,=DDBBDDBB所以11//,=DEBFDEBF，所以四边形1DEBF为平行四边形，所以1//FDBE，BE又平面1ABE，1FD平面1ABE，所以1//FD平面1ABE.又111DCFDD，又11,DCFD平面1FDC.所以平面1//ABE平面1FDC.当点M在线段CF上时，1DM平面1FDC,所以1//DM平面1ABE，又点M轨迹在正方形11BBCC内，所以点M在线段CF上，22215122CFBCBF.故答案为：52.6．如图所示，在棱长为2的正方体1111-ABCDABCD中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面11BCCB内（包括边界）一动点，且1DP∥平面EFG，则P点的轨迹长度为【答案】2【分析】根据题意可证平面FGE∥平面11ABCD，进而可得点P的轨迹为线段BC，即可得结果.【详解】因为11AD∥BC，则11,,,ABCD四点共面，连接11,CDAB，因为E，F分别为所在棱的中点，则EF∥1AB，且EF平面FGE，1AB平面FGE，所以1AB∥平面FGE，因为F，G分别为所在棱的中点，则FG∥11AD，且FG平面FGE，11AD平面FGE，所以11AD∥平面FGE，1111ABADA，111,ABAD平面11ABCD，所以平面FGE∥平面11ABCD，且平面11BCCB平面11ABCDBC，可得当且仅当点P在棱BC上时，即1DP平面11ABCD，满足1DP∥平面EFG，所以点P的轨迹为线段BC，长度为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据题意利用面面平行转化线面平行，再结合平行关系分析求解.2.已知垂直求轨迹7．如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点M是棱11BC的中点，点P是正方体表面上的动点．若1DMCP，则P点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（）A．25B．225C．225D．2225【答案】C【分析】取1BB的中点G，11AB的中点H，连接1CH、GH、1GC、1DM、CM，设11HCDMO，证明出DM平面1CGH，可知P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为1HCG的三边，求出1HCG的周长即可得解.【详解】取1BB的中点G，11AB的中点H，连接1CH、GH、1GC、1DM、CM，设11HCDMO，如下图所示．因为四边形1111DCBA是正方形，又点M是棱11BC的中点，点H是11AB的中点，则1111BCCD，11BHCM，111190CBHDCM，所以，1111RtRtBCHCDM△≌△，所以，1111BCHCDM，所以，1111111190CMDBCHCMDCDM，所以，190COM，即11HCDM．在正方体1111ABCDABCD中，1DD平面1111DCBA，又1CH平面1111DCBA，所以11DDCH，又111DDDMD，1DD、1DM平面1DDM，所以1CH平面1DDM，又MD平面1DDM，所以1CHMD，同理可得，1CGMD，又111CGCHC，1CG、1CH平面1CGH，所以，DM平面1CGH．所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为1HCG的三边，因为正方体1111ABCDABCD的棱长为2，由勾股定理可得22221111215CHBCBH，同理可得15CG，2GH，所以1HCG的周长为GH11255225HCGC．故选：C．8．（多选）如图，已知直四棱柱ABCDEFGH的底面是边长为2的正方形，CGm，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则（）A．当2m时，存在唯一的点P满足π2APMB．当2m时，存在点P满足4PAPMC．当233m时，满足BPAM的点P的轨迹长度为523D．当233m时，满足APPM的点P轨迹长度为43π3【答案】AC【分析】建立空间直角坐标系，结合选项逐个验证，利用对称点可以判断A，利用垂直求出P可以判断B，求出点P轨迹长度可判定C,D.【详解】以D为原点，,,DADCDH所在直线分别为,,xyz轴，建系如图，则2,0,0A，0,2,2mM，2,2,0B，设,,Pxym对于选项A，当2m时，2,,2,,2,1APxyMPxyuuuruuur，由0APMP得222220xxyy，即22110xy，解得1xy，所以存在唯一的点P满足π2APM，故A正确；对于选项B，当2m时，0,2,1M，2,0,0A，设点A关于平面EFGH的对称点为A，则2,0,4A，449174AM.所以4PAPMPAPMAM.故B不正确.对于选项C，当233m时，2,2,0B，23,,3Pxy，则3232,2,,2,2,33AMBPxyuuuruur，由0AMBPuuuruur得103xy.在平面EFGH中，建立平面直角坐标系，如图，则P的轨迹方程103xy表示的轨迹就是线段NQ，而523NQ，故C正确.对于选项D，当233m时，30,2,3M，23,,3Pxy，则2332,,,,2,33APxyMPxyuuuruuur，由0APMP得2222203xxyy，即224113xy，在平面EFGH中，建立平面直角坐标系，如图，记224113xy的圆心为O，与GF交于,ST；令2y，可得12331,133xx，而12233xx，所以π3SOT，其对应的圆弧长度为23π9；根据对称性可知点P轨迹长度为2323π43π24399；故D错误.故选：AC.9．（多选）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为3，动点M在侧面11BBCC内运动（含边界），且1BDMC，则（）A．点M的轨迹长度为32B．点M的轨迹长度为23C．AMBM的最小值为33262D．AMBM的最小值为32362【答案】AD【分析】根据1BC平面11DCB，11BDBC得点M的轨迹为1BC，可得点M的轨迹长度可判断AB；将平面1ABC翻折到与平面1BBC重合，可得A，M，B三点共线，AMBM取得最小值AB，分别求出AM、AM可得答案．【详解】如图，因为11DC平面11BBCC，1BC平面11BBCC，所以111DCBC，因为11BCCB，1111DCCBC，111DCCB、平面11DCB，所以1BC平面11DCB，1BD平