专题突破卷19传统方法求夹角及距离（原卷版）

专题突破卷19传统方法求夹角及距离1.求异面直线的夹角1．在三棱锥ABCD中，4ABACAD，BCD△的边长均为6，P为AB的中点，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（）A．2244B．2222C．32244D．22112．如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，2NBAN，2CMDM，2AB，3BC，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（）A．33010B．33020C．35D．343．如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点M在对角线1BC上移动，设异面直线AM与DC所成角为，则sin的最大值为（）A．23B．33C．63D．234．四面体OABC中，ABC是边长为12的等边三角形，8OA，10OBOC，D为BC的中点，E为AD的中点，F为BD的中点，则异面直线AB与OF所成角的正切值是_____．5．已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，ABBC，2AB，4BC，若球O的体积为86π，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为_____．6．已知正四面体ABCD，点E为棱AD的中点，O为BCD△的中心，则异面直线EO与CD所成的角等于_____.2.求直线与平面的夹角7．如图，在四棱台1111ABCDABCD中，1AA底面ABCD，M是AD中点.底面ABCD为直角梯形，且ADBC∥，11112ABBCADAAAD，90ABC.(1)求证：直线1DD∥平面1BCM；(2)求直线CD与平面1BCM所成角的正弦值.8．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC平面PCD，PACD，2,3CDAD.(1)设,GH分别为,PBAC的中点，求证：//GH平面PAD；(2)求证：PA平面PCD；(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.9．如图，已知正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长是3，体积是45，M，N分别是棱1BB、11BC的中点．(1)求过1A，B，1C的平面与该正四棱柱所截得的多面体111ACDABCD的体积；(2)求直线MN与平面11ACCA所成的角．10．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上（点E异于A、B两点），点F在DE上，且AFDE，若圆柱的底面积与△ABE的面积之比等于π．(1)求证：AFBD；(2)求直线DE与平面ABCD所成角的正切值．11．如图，在四棱锥PABCD中，//ABCD，90ABC，ADP△是等边三角形，2ABAP，3BP，ADBP.(1)求BC的长度；(2)求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值.12．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A－CD－F为60°，//DECF，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝6．(1)求证：//BF平面ADE；(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值3.求平面与平面的夹角13．如图，在三棱柱ABCABC中，已知CB平面,2ABBAAB，且,ABBBACAB.(1)求AA的长；(2)若D为线段AC的中点，求二面角ABCD的余弦值.14．在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60ABC，2AB，ACBDO，PO底面ABCD，2PO，点E在棱PD上，且CEPD．(1)证明：平面PBD平面ACE；(2)证明：OEPD(3)求二面角DACE的余弦值15．如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA平面ABC，E，F分别为1AB，1AC的中点，D为11BC上的点，且11ADBC.(1)求证：平面1AFD平面11BCCB；(2)若三棱柱所有棱长都为a，求二面角111ABCC的平面角的正切值.16．如图，E是直角梯形ABCD底边AB的中点，22ABDCBC，将ADEV沿DE折起形成四棱锥ABCDE.(1)求证：DE平面ABE；(2)若二面角ADEB为60°，求二面角ADCB的余弦值.17．如图所示，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别为AD、CD的中点，EF交BD于点H，将DEF沿EF折起到DEF的位置.(1)证明：ACBD：(2)若4ABAC，2AO，6OD，求二面角DACD的大小18．如图，在棱长为3的正方体1111ABCDABCD中，E，F为棱1AA的两个三等分点．(1)求证：CE∥平面BDF；(2)求二面角1CBDF的余弦值．4.已知夹角求距离19．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，2ADPD，5AB，点Q是PC的中点．在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为60？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？20．如图，在直角梯形ABCD中，//ABDC，90ABC，22ABDCBC，E为AB的中点，沿DE将ADEV折起，使得点A到点P的位置，且PEEB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B、C不重合）．(1)证明：平面EMN平面PBC；(2)是否存在点N，使得二面角BENM的正切值为17？若存在，确定N点的位置；若不存在，请说明理由．21．如图，在正四棱锥SABCD中，2AB，点O为底面ABCD的中心，点P在棱SD上，且SAC的面积为1．(1)若点P是SD的中点，求证：平面SCD平面PAC；(2)在棱SD上是否存在一点P使得二面角PACD的余弦值为55？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明强由．22．如图1，在平行四边形ABCD中，60A，=1AD，=2AB，将△ABD沿BD折起，使得平面ABC平面ABD，如图2．(1)证明：AD平面BCD；(2)在线段AC上是否存在点M，使得二面角MBDC的大小为45°？若存在，求出AMAC的值；若不存在，说明理由．23．如图，在四棱锥中PABCD，PA平面ABCD，//ADBC，ADCD，且22ADCD，42BC，2PA(1)求证：ABPC；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在，请说明M点的位置，如果不存在，请说明理由．24．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，60DAB，90ADP，平面ADP平面ABCD，点F为棱PD的中点.(1)在棱AB上是否存在一点E，使得//AF平面PCE？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由；(2)当二面角DFCB的余弦值为24时，求直线PB与平面ABCD所成的角.5.求几何体的体积25．如图，梯形ABCD中，4AD，E为AD中点，且CEAD，1CEBC，将DEC沿CE翻折到PEC，使得π3PEA．连接,PAPB．(1)求证：BEPC；(2)Q为线段PA上一点，若23AQAP，求三棱锥PBCQ的体积．26．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，//ADBC，90ABC，且侧面PAD面ABCD，O是AD的中点，22ABBCADPAPD．当2AB时，在棱PC上是否存在一点M，使得三棱锥PABM的体积为33，若存在，请求出PMPC的值，若不存在，请说明理由．27．如图1，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CDDE，CDDE，如图2，将ABE沿BE折起，使得A至1A处，且11ABAD.(1)证明：DE平面1ABE；(2)若四棱锥1ABCDE的体积为4，求CD的长.28．如图，在四棱雉PABCD中，底面ABCD是正方形，32PBPD，3PAAD，点E，F分别为线段PD，BC的中点.(1)求证：//EF平面ABP；(2)求三棱锥CAEF的体积.29．如图，四棱锥PABCD的底面是菱形，平面PAD底面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，6AB，5DPAP，60BAD.(1)求证：//EF平面PAD；(2)求证：ACPE；(3)求四棱锥PABCD的体积.30．已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PD平面ABCD，2PDADCD，π3BAD，E为PC上一点．(1)平面PAD平面PBCl，证明：//BCl．(2)当直线BE与平面BCD的夹角为π6时，求三棱锥PBDE的体积．6.利用等体积法求点到面的距离31．如图，在正四棱台1111ABCDABCD中，1124ABAB.(1)证明：1ACBD.(2)若正四棱台1111ABCDABCD的高为3，求点D到平面11BBCC的距离.32．如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且13ADDB，点C为圆O上一点，且3BCAC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PDDB.(1)求证：CD平面PAB；(2)设2AO，求点D到平面PBC的距离.33．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点E在底面圆周上，AFDE，F为垂足．(1)求证：AFDB．(2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为2时，求点B到平面CDE的距离．34．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60,2,ABCABPAPA平面,ABCD,EM分别是,BCPD中点，点F在棱PC上移动.(1)证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF平面PAD；(2)求点P到平面AEM的距离.35．如图，三棱柱111ABCABC-的所有棱长都是2，1AA平面ABC，D，E分别是AC，1CC的中点．在线段1BB（含端点）上是否存在点M，使点M到平面1ABD的距离为255？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．36．如图所示，圆锥的高3PO，底面圆O的半径为1，延长直径AB到点C，使得BC＝1，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点.(1)证明：平面PDE⊥平面POD；(2)点E到平面PAD的距离为d1，求d1的值.1．如图，三棱锥PABC中，PAPB，PAPB，22ABBC，平面PAB平面ABC.(1)求三棱锥PABC的体积的最大值；(2)求二面角PACB的正弦值的最小值.2．已知平面四边形ABCD，2ABAD，60BAD，30BCD，现将ABD△沿BD边折起，使得平面ABD平面BCD，此时ADCD，点P为线段AD的中点，点M在线段CD上．(1)求证：BP平面ACD；(2)若直线BM与平面ACD所成角的正弦值为217，求二面角PBMD的平面角的余弦值．3．如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，,MN分别是棱,PBPC的中点，Q是棱PA上一点，且3AQQP．(1)求证：NQ平面MCD；(2)若14,8,46ABBCPBPDPAPC，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．4．如图三棱柱111ABCABC-中，ABC是边长为2的正三角形，113ACAB，二面角1ABCA的余弦值为63.(1)证明：1AA平面1ABC；(2)求1CB与平面11ABBA所成角的正弦值.5．如图：已知直三棱柱111ABCABC-中，1AC交1AC于点O，12ABACAA，90BAC.(1)求证：11ACBC；(2)求二面角OBCA的正切值.6．四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为菱形，ADC60，2PAAD，E为AD的中点，F为PC中点．(1)求证：//EF平面PAB；(2)求二面角APDC的正弦值．7．如图（1），在ABC中，2ABBC，90ABC，E、F、H分别为边AB、AC、BC的中点，以EF为折痕把AEF△折起，使点A到达点P位置（如图（2））．当四棱锥PBCFE的体积最大时，分别求下列问题：(1)设平面PBE与平面PFH的交线为l，求证：l