专题突破卷18 外接球和内切球（解析版）

专题突破卷18外接球和内切球1.长方体及柱体的外接球1．长方体的所有顶点都在一个球面上，长､宽､高分别为1,1,3，那么这个球体的体积为（）A．55π3B．5πC．6πD．55π6【答案】D【分析】根据长方体特征求出外接球半径，结合球体的体积公式求解答案.【详解】长方体的体对角线长，即外接球的直径长为2221135，所以外接球半径为52r，所以这个球体的体积33256445ππ35π3Vr.故选：D2．在直三棱柱111ABCABC-中，1ABBC，90ABC，12AA，则此三棱柱外接球的表面积为（）A．5πB．6πC．7πD．8π【答案】B【详解】根据题意，将直三棱柱扩充为长方体其体对角线为外接球的直径，可得半径，即可求出外接球的表面积．【解答】因为1ABBC，90ABC，12AA，所以将直三棱柱扩充为长、宽、高为1、1、2的长方体，其体对角线为其外接球的直径，长度为1146，所以其外接球的半径为62，则此三棱柱外接球的表面积为264π6π2．故选：B3．一个正方体的体对角线长为2，它的顶点都在同一球面上，则该球的体积为.【答案】23/23【分析】根据长方体外接球的特征即可求解半径，由体积公式即可求解.【详解】根据长方体的结构特征可知长方体的体对角线为其外接球的一条直径2R，所以2222RR,故球的体积为3422ππ323，故答案为：2π34．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为64，则这个球的表面积是.【答案】48π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，即球的直径，结合球的表面积公式计算即可求解．【详解】解：正四棱柱高为4，体积为64，所以底面积为16，则底面正方形边长为4，所以正四棱柱的对角线长即球的直径为22244443，球的半径为23R，球的表面积24π48πSR，故答案为：48π.5．已知直三棱柱111ABCABC-中，12,6BBBCBAC，则该三棱柱外接球的体积为.【答案】2053【分析】先利用正弦定理求地面的外接圆半径，然后利用勾股定理求外接球的半径，最后求得体积.【详解】棱柱底面ABC的外接圆直径2242sin6rr，所以该三棱椎外接球的半径22152BBRr，所以该三棱柱外接球的体积为3420533VR故答案为：20532.补形法解决墙角模型6．在三棱锥SABC中，5SABC，41SBAC，34SCAB，则该三棱锥的外接球表面积是（）A．50πB．100πC．150πD．200π【答案】A【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表面积即可．【详解】因为5,41,34SABCSBACSCAB，所以可以将三棱锥SABC如图放置于一个长方体中，如图所示：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有222222412534abacbc，整理得22250abc，则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，所以有2222525022abcRR，所以所求的球体表面积为：22524π4π50π2SR．故选：A．7．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”（如图所示），其中PA底面ABCD，3PA，2AB，1AD，则该“阳马”的外接球的表面积为．【答案】14π【分析】以,,PAABAD为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】如图，以,,PAABAD为棱作长方体，则长方体的对角线即为该“阳马”的外接球的直径，设直径为R，则2222232114R，所以2414R，所以该“阳马”的外接球的表面积为24π14πR.故答案为：14π.8．如图，已知在三棱锥PABC中，PAPB，PBPCPCPA，，且222PAPBPC，求该三棱锥外接球的表面积是．【答案】6π【分析】根据题意将三棱锥PABC转化为长方体，利用长方体的求外接球的半径，进而可得结果.【详解】设三棱锥外接球的外接球的半径为R，由题意可将三棱锥PABC转化为长方体，长、宽、高分别为2、1、1，则长方体的体对角线为外接球的直径22222116R，即62R，所以该三棱锥外接球的表面积为2264π4π6π2R.故答案为：6π.9．球面上有,,,ABCD四个点，若,,ABACAD两两垂直，4ABACAD，则该球的表面积为．【答案】48π【分析】根据题设，可将四面体补全为正方体，根据它们的外接球为同一个求半径，进而求球体表面积.【详解】由题设，将,,,ABCD所成四面体补全为正方体，如下图示，所以其外接球也为正方体外接球，故球体半径为222232ABACADr，故球的表面积为24π48πr.故答案为：48π10．已知三棱锥1AACD中，1AA平面ACD，ADCD，12AAAC，则三棱锥1AACD的外接球的表面积为.【答案】8π【分析】根据题意将三棱锥补成长方体，则长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径，从而可求出其半径，进而可求出其表面积.【详解】如图所示，三棱锥1AACD可补形为一个长方体，则三棱锥1AACD的外接球的半径为222211(2)8RACAAAC，故三棱锥1AACD的外接球的表面积为24π8πSR.故答案为：8π3.线面垂直模型11．则三棱锥PABC中，PA平面π,6,3,6ABCPABCCAB，则三棱锥PABC的外接球半径为（）A．3B．32C．33D．6【答案】B【分析】根据外接球半径R与底面外接圆半径r，高度12dPA的关系计算即可.【详解】由题由正弦定理得，ABC外接圆直径为326πsin6r，得3r，设球心到平面ABC得距离为d，所以132dPA，所以三棱锥的外接球半径为22223332Rdr，故选：B.12．已知三棱锥PABC的各顶点都在同一球面上，且PA平面ABC，若该棱锥的体积为233，=2AB，1AC，ACBC，则此球的表面积等于（）A．5B．8C．16D．20【答案】D【分析】由线面垂直的性质定理证明PAAB，BCPC，取PB中点O，连接OA，OC，则有12OBOPOAOCPB，即O是该棱锥外接球的球心，PB是球的直径，求出其长得球半径，从而得球表面积．【详解】PA平面ABC，,ABBC平面ABC，所以PAAB，PABC，又BCAC，ACPAA，,ACAP平面PAC，所以BC平面PAC，而PC平面PAC，所以BCPC，取PB中点O，连接OA，OC，则有12OBOPOAOCPB，223BCABAC，1322ABCSACBC!，PABCV2313332PA，∴4PA，∴25PB，所以外接球球半径为152PB，∴表面积为24(5)20．故选：D．13．已知在三棱锥SABC中，AC平面SBC，43AC，23BC，60BSC，则该三棱锥外接球体积为（）A．64πB．2563C．48D．2683【答案】B【分析】根据题意，将三棱锥SABC补成以AC为侧棱的直棱柱，求解外接球的半径，利用球的体积公式求解即可.【详解】如图，将三棱锥SABC补成以AC为侧棱的直棱柱，设△BCS外接圆圆心为1O，半径为r，设△ADE外接圆圆心为2O，连接2AO，1CO，12OO，取12OO的中点O，则点O为三棱锥SABC外接球球心，连接CO，设该三棱锥外接球半径为R，在△BCS中，2342sin32BCrBSC，所以2r.在1RtOCO中，222324R，所以该三棱锥外接球体积为3425633R，故选：B.14．已知在三棱锥PABC中，PB平面,120ABCABC，且,6,4BABCACPB，则三棱锥PABC外接球的体积为.【答案】2563/2563【分析】将三棱锥PABC补成直三棱柱，根据直三棱柱的外接球运算求解.【详解】因为PB平面ABC，我们可以将三棱锥PABC补成直三棱柱如图所示，该直三棱柱的外接球就是三棱锥PABC的外接球，而直三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圆圆心连线的中点上，设ABC外接圆半径为r，直三棱锥PABC的外接球半径为R，由正弦定理可得：243sinACrABC，所以23r，则222124162PBRr，所以直三棱锥PABC外接球的体积为34256ππ33VR.故答案为：256π3.15．已知在三棱锥SABC中，AC平面SBC，43AC，23BC，60BSC，则该三棱锥外接球体积为.【答案】2563/2563【分析】根据正弦定理得外接圆的半径，进而根据勾股定理确定球半径.【详解】设SBC△的外接圆的圆心为M，半径为r;三棱锥的外接球球心为O,球半径为R，连接OM,过O作ONAC于N,则四边形OMCN为矩形，在SBC△中，由23BC，60BSC，由正弦定理得112322sin232BCrMCBSC，设OMh，则22222ROMrONAN，即22222243hh，解得23h，4R,所以外接球的体积为334π4π256π=4=333R,故答案为:256π34.侧棱相等模型16．已知正三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为23的正三角形，侧棱长为5，则球O的表面积为（）A．10B．25C．100D．125【答案】B【分析】首先根据题意画出图形，设1O为ABC的中心，O为外接球的球心，1COr，OCOSR，利用正弦定理得到2r，利用勾股定理得到22212RR，解得52R，再求外接球表面积即可.【详解】如图所示：设1O为ABC的中心，O为外接球的球心，1COr，OCOSR，由正弦定理232sin60r，解得2r.又因为221521SO，所以11OOR.在1RTOOC△中，22212RR，解得52R，所以外接球面积22544252SR.故选：B17．设高为23的正三棱锥PABC的侧棱与底面所成角为60°，且该三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．643B．16C．493D．17【答案】A【分析】画出图形，正三棱锥PABC的外接球的球心在它的高PH上，在OHC表示出边长，利用勾股定理求出外接球的半径，可得表面积.【详解】如图，设PH垂直底面ABC，垂足为H，则23PH，60PCH，因为tanPHPCHCH，所以2CH，设球O的半径为R，则222232RR，解得164433R，故球O的表面积为26443R．故选：A.【点睛】本题考查正三棱锥的外接球问题，关键是找到半径，并求出长属于基础题.18．已知正三棱锥PABC内接于半径为2的球O，且扇形OPA的面积为4π3，则正三棱锥PABC的体积为．【答案】934【分析】根据扇形的面积计算公式和三棱锥的体积公式可计算得答案．【详解】解：设底面ABC的中心为O，平面PAO如图所示，由扇形OPA的面积为4π3，2OAOP，所以2π3POA，所以π3AOO，所以3OA，1OO，所以正三棱锥PABC的高为3PO，底面ABC的面积为934，因此体积为193933344．故答案为：934．19．已知正三棱锥ABCD的四个顶点在球O的球面上，侧棱2AB，且2BC，则球O的体积为.【答案】6π【解析】由条件判断三棱锥的侧棱