专题突破卷19传统方法求夹角及距离（解析版）

专题突破卷19传统方法求夹角及距离1.求异面直线的夹角1．在三棱锥ABCD中，4ABACAD，BCD△的边长均为6，P为AB的中点，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（）A．2244B．2222C．32244D．2211【答案】C【分析】取AD中点E，连接PE，EC，易得//PEBD，要求PC与BD所成角的余弦，只要求出cosCPE即可.【详解】如图，取AD中点E，连接PE，EC，P是AB中点，//PEBD，132PEAB，则CPE∠是PC与BD所成角的平面角（或补角），在ABC中，4ABAC，6BC，由余弦定理，2222224461cos22448ABACBCAACAB，在APC△中，2222cosPCAPACAPACA22124224=228，22PC，同理，22CE，在PEC中，由余弦定理可得，22222922322cos2442223PCPECECPEPCPE，异面直线PC与BD所成角的余弦为32244.故选：C.2．如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，2NBAN，2CMDM，2AB，3BC，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（）A．33010B．33020C．35D．34【答案】B【分析】作出异面直线AM与CN所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.【详解】连接,,,,DMCMANBNBM，设BMCNP，则P是BM的中点，设Q是AB的中点，连接PQ，则//PQAM，则NPQ是异面直线AM与CN所成角或其补角.由于2NBAN，2CMDM，所以ππ,36BANNBA，由于2AB，而AB是圆柱底面圆的直径，则ANBN，所以1,3ANBN，则1101910,22AMPQAM，13923,32CNPNCN，而1QN，在三角形PQN中，由余弦定理得1010313133044cos201010232322NPQ.故选：B3．如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点M在对角线1BC上移动，设异面直线AM与DC所成角为，则sin的最大值为（）A．23B．33C．63D．23【答案】C【分析】异面直线AM与DC所成角为转化为平面角BAM，注意到BAM为直角三角形，进一步结合锐角三角函数的定义即可求解.【详解】如图所示：因为ABDC，所以BAM为异面直线AM与DC所成角，又AB平面11BBCC，M与B不重合时，BAM为直角三角形，当BAM越大时其正弦值也越大，当M与1C重合时BAM最大，此时在1RtBAC△中，有222211112BCBCCC，211222213BCABAC，因此11126sinsin33BCBACAC.故选：C.4．四面体OABC中，ABC是边长为12的等边三角形，8OA，10OBOC，D为BC的中点，E为AD的中点，F为BD的中点，则异面直线AB与OF所成角的正切值是．【答案】346【分析】连接,,ODOEEF，易得//EFAB，则OFE或其补角即为异面直线AB与OF所成角，利用勾股定理求出,OEOF，再解OEF即可.【详解】如图，连接,,ODOEEF，因为E为AD的中点，F为BD的中点，所以//EFAB，且162EFAB，则OFE或其补角即为异面直线AB与OF所成角，因为10OBOC，所以ODBC，221068ODOA，所以OEAD，因为D为BC的中点，所以63AD，则2283337OE，2264973OFODDF，则222EFOEOF，所以OEEF，故34tan6OEOFEEF，即异面直线AB与OF所成角的正切值是346.故答案为：346.5．已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，ABBC，2AB，4BC，若球O的体积为86π，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为．【答案】1010【分析】作出图形，分别取PA、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、NE、ME、AE，利用中位线的性质并结合异面直线所成角的定义得出异面直线PB与AC所成的角为MNE或其补角，并计算出MNE各边边长，利用余弦定理计算出cosMNE，即可得出答案．【详解】设球O的半径为R，则34π86π3R，解得6R．如下图所示，分别取PA、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、NE、ME、AE，∵PC为球O的直径，A，B在球O上，,PAACPBBCABBC，,,ABPAAABPA平面PABPA平面ABC，AC平面ABC，PAAC，2225ACABBC，222PAPCAC，E为BC的中点，则2222AEABBE，M、N分别为PA、AB的中点，则//MNPB，且222MNAMAN，同理可得//NEAC，且152NEAC，所以，异面直线PB与AC所成的角为MNE或其补角，且223MEAMAE，在MNE中，2MN，5NE，3ME，由余弦定理得22210cos210MNNEMEMNEMNNE．因此，异面直线PB与AC所成成的余弦值为1010．故答案为：1010．6．已知正四面体ABCD，点E为棱AD的中点，O为BCD△的中心，则异面直线EO与CD所成的角等于.【答案】60【分析】通过作平行线作出异面直线EO与CD所成的角，结合余弦定理解三角形即可求得答案.【详解】设正四面体ABCD的棱长为2a，连接AO，O为BCD△的中心，故AO平面BCD，连接OD，OD平面BCD，故AOOD，点E为棱AD的中点，故12EOADa，连接BO并延长交CD于H，H即为CD的中点，则2BOOH，过点O作FGCD∥，交BC于F，交BD于G，则2233FOCHa，则1233aCFBC；则FO与EO所成角即为异面直线EO与CD所成的角或其补角；连接,AFFD，则2222244272cos604933AFACCFAFFCaaaao，同理求得273DFa，即DFAF,而点E为棱AD的中点，则EFAD，故2222281993aEFAFAEaa，在EFO△中，222419931cos2223aaaEOFaa，则120EOF，因为异面直线EO与CD所成的角范围为大于0小于等于90，故异面直线EO与CD所成的角为60，故答案为：602.求直线与平面的夹角7．如图，在四棱台1111ABCDABCD中，1AA底面ABCD，M是AD中点.底面ABCD为直角梯形，且ADBC∥，11112ABBCADAAAD，90ABC.(1)求证：直线1DD∥平面1BCM；(2)求直线CD与平面1BCM所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)12【分析】（1）根据题意可证11ABCM∥，可知11,,,ABCM四点共面，进而可得11DDAM∥，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）过点D作1DOAM于点O，连CO，根据垂直关系分析可得DCO∠为CD与平面1BCM所成角，运算求解即可.【详解】（1）连接11,AMDM，因为M是AD中点，且ADBC∥，2ADAB，则CMAB∥，又因为11ABAB∥，则11ABCM∥，可知11,,,ABCM四点共面，由112ADAD，11ADAD∥，可得11ADMD∥，11ADMD，则四边形11AMDD是平行四边形，故11DDAM∥，且1DD平面11AMDD，1AM平面11AMMD，所以1DD∥平面1BCM.（2）因为1AA底面ABCD，AB底面ABCD，则1AAAB，且ADAB，1AAADA，1,AAAD平面11ADDA，所以AB平面11ADDA，由（1）可知：CMAB∥，则CM平面11ADDA，且CM平面1BCM，所以平面1BCM平面11ADDA，过点D作1DOAM于点O，连CO，平面1BCMI平面111ADDAAM，DO平面11ADDA，所以DO平面1BCM，所以DCO∠为CD与平面1BCM所成角，因为1△∽△AAMDOM，则11AADOAMDM，可得1122AADMDODMAM，所以直线CD与平面1BCM所成角的正弦值212sin22DMDODCOCDDM.8．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC平面PCD，PACD，2,3CDAD.(1)设,GH分别为,PBAC的中点，求证：//GH平面PAD；(2)求证：PA平面PCD；(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)33【分析】（1）连接BD，证得//GHPD，结合线面平行的判定定理，即可证得//GH平面PAD；（2）取棱PC的中点N，连接DN，利用面面垂直的性质，证得DN平面PAC，得到DNPA，结合PACD，进而证得PA平面PCD；（3）连接AN，由DN平面PAC，得到DAN是直线AD与平面PAC所成的角，在直角AND△中，结合sinDNDANDA，即可求解.【详解】（1）证明：连接BD，根据题意可得ACBDH，可得H为BD的中点，又由G为PB的中点，所以//GHPD，因为GH平面PAD，BD平面PAD，所以//GH平面PAD.（2）证明：取棱PC的中点N，连接DN，因为PCD为等边三角形，所以DNPC，又因为平面PAC平面PCD，平面PAC平面PCDPC，且DN平面PCD，所以DN平面PAC，因为PA平面PAC，所以DNPA，又因为PACD，CDDND且,CDDN平面PCD，所以PA平面PCD.（3）解：连接AN，由DN平面PAC，可得DAN是直线AD与平面PAC所成的角，因为PCD为等边三角形，2CD，且N为PC的中点，所以3DN，又因为DNAN，在直角AND△中，3sin3DNDANDA，所以直线AD与平面PAC所成的角的正弦值为33.9．如图，已知正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长是3，体积是45，M，N分别是棱1BB、11BC的中点．(1)求过1A，B，1C的平面与该正四棱柱所截得的多面体111ACDABCD的体积；(2)求直线MN与平面11ACCA所成的角．【答案】(1)752(2)317arcsin34【分析】（1）利用棱柱以及棱锥的体积公式结合割补法即可求得答案；（2）证明1MNBC∥，即可找到直线MN与平面11ACCA所成的角，解三角形即可求得答案.【详解】（1）正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长是3，体积是45，即有21345AA，解得15AA；所以三棱锥111BABC的体积为1111115335322BABCV，所以多面体111ACDABCD的体积为正四棱柱1111ABCDABCD体积减去三棱锥111BABC的体积，即为15754522；（2）因为M，N分别是棱1BB、11BC的中点，故1MNBC∥，所以直线MN与平面11ACCA所成的角即为直线1BC与平面11ACCA所成的角；连接BD、AC，交于点O，则BDAC；又1AA平面,ABCDBD平面ABCD，故1AABD，11,,AAACAAAAC平面11ACCA，故BD平面11ACCA，则BO平面11ACCA，所以1OCB是直线1BC与平面11ACCA所成的角；又1OC平面11ACCA，故1BOOC，又3AB，故13222OBBD，2213534BC，所以11323sin3431724OBOCBBC，又1π[0,]2OCB，所以1317arcsin34OCB．10．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上（点E异于A、B两点），点F在DE上，且