专题突破卷16 求数列的通项公式（解析版）

专题突破卷16求数列的通项公式1.周期数列1．若数列na中，135a，214a，且21nnnaaa（nN），记数列na的前n项积为n，则20232023a的值为．【答案】1【分析】根据数列的周期性，即可求解.【详解】因为135a，214a，且21nnnaaa，所以12nnnaaa，则3512a，453a，54a，6125a，735a，814a，发现数列na是以6为周期的数列，且前6项积为1，则2023135a，1202335aa，所以2023202335135a.故答案为：1.2．函数yfx的部分对应值如下表所示，对于任意*Nn，点1,nnaa都在函数yfx的图象上.已知11a，则2020a的值是.x1234fx3124【答案】1【分析】根据题意求出数列na的周期，再根据数列的周期性即可得解.【详解】因为点1,nnaa都在函数yfx的图象上，所以1nnafa，因为11a，所以213af，3232afaf，4321afaf，所以数列na是以3为周期的周期数列，所以20206733111aaa.故答案为：1.3．已知数列na满足*1113,,N1nnnaaana，则2023a=（）A．3B．12C．13D．2【答案】C【分析】根据递推形式求数列的前几项，判断数列是周期数列，再求值.【详解】13a，212a，313a，42a，53a，所以na是周期数列，且周期为4，又202345053，所以2023313aa．故选：C.4．数列na满足1112211,1,2,,nnnnnnnnnaaaaaaaaaaa，，则na的前2023项和2023S.【答案】1351【分析】根据已知递推式求出345678,,,,,aaaaaa，则可得na从第3项起以3为周期的周期数列，从而可求得答案【详解】因为1112211,1,2,,nnnnnnnnnaaaaaaaaaaa，所以910351467811,1,0,1,1,0,1,1,0aaaaaaaaa，则na从第3项起以3为周期的周期数列，所以2023674231351S.故答案为：13515．数列na满足11a，123nnnaaan，若2121a，则26aa．【答案】43【分析】根据递推式得到na周期为6，进而求得222a、654321aaaa，即可得结果.【详解】由题设12nnnaaa，则122323546nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa，且6n，所以na是周期为6的数列，则6113322321aaaaa，故222a，654434321aaaaaaa，所以2643aa.故答案为：432.累加、累乘法6．数列na中，若13a，11nnnaan，则na.【答案】3n【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得na.【详解】由题意，13a，11nnnaan可得0na，所以11nnanan，所以1211211213312nnnnnaaannaaaaannn.故答案为：3n.7．已知正项数列na满足a1=1，a2=2，a4=64，且221*()Nnnnaakan．(1)求k的值；(2)求数列na的通项公式．【答案】(1)2；(2)(1)22nnna.【分析】（1）运用代入法进行求解即可；（2）通过换元法、等比数列的定义，结合等比数列的通项公式、累积法、等差数列前n项和公式进行求解即可.【详解】（1）当1n时，213234aakaak，当2n时，2322412842kkkaaka；（2）因为2k，所以2212nnnaaa，则2112nnnnaaaa，令1nnnaba，所以12nnbb，则nb是等比数列，因为2112aba，2q=，所以112nnnbbq，所以12nnnaa，则12211231nnnnnnnaaaaaaaaaa(1)12212222212.nnnn8．北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为na，则使得22nan成立的n的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】由题设及累加可得123nana，应用等差数列前n项和公式及已知不等关系求n范围，即可得结果.【详解】由题意2132123,nnaaaaaan，2n，*Nn且11a，累加可得123nana，所以1122nnnan，∴1222nnn，得4n，即min5n．故选：C．9．已知数列na满足11a，*11nnananN，若x表示不超过x的最大整数，则122023111aaa．【答案】1【分析】根据迭代法可得1,2nnna利用裂项求和结合x的定义即可求解.【详解】由*11nnananN得2n时，12111112221nnnnnanannannann，当1n时，11a也符合，所以1,2nnna1211211nannnn，故1220231111111112121223202320242024aaa，12202311112112024aaa，故答案为：110．已知定义数列1nnaa为数列na的“差数列”，若12,naa的“差数列”的第n项为2n，则数列na的前2023项和2023S（）A．202221B．20222C．20242D．202422【答案】D【分析】根据给定条件可得12nnnaa，利用累加法求出数列na的通项，再利用等比数列前n项和公式求解作答.【详解】依题意，12nnnaa，当2n时，121321()()()nnnaaaaaaaa211122222(2)2212nnn，而12a满足上式，因此2nna，所以2023122023202420232(122222212)S.故选：D11．已知数列na中，*111,N3nnnaaan．(1)求数列na的通项公式；(2)设232lognnbna，数列1nb的前n项和nS，求证：1nS．【答案】(1)(1)213nnna(2)证明见解析【分析】（1）由1*)3(nnnaanN，得到*11()3nnnanaN，再利用累乘法求解；（2）由（1）易得1111(1)+1nbnnnn，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）因为11a，1*)3(nnnaanN，所以*11()3nnnanaN，所以121121nnnnnaaaaaaaa(1)121121211111333331nnnnn当1n时，11a满足条件，所以(1)213nnna；（2）因为232lognnbna(1)nn，所以1111(1)+1nbnnnn，所以111111=1++122311nSnnn，因为101n，所以1nS.3.待定系数法12．已知：11a，2n时，11212nnaan，求na的通项公式．【答案】13462nnan【分析】构造等比数列46nan，即可由等比数列的性质求解.【详解】设1112nnaAnBaAnB，所以111112222nnaaAnAB，∴12,2111,22AAB，解得：46AB，又1463a，∴46nan是以3为首项，12为公比的等比数列，∴114632nnan，∴13462nnan．13．数列na满足1432nnaan且10a，则数列na的通项公式是．【答案】141nna【分析】根据题意构造等比数列，进而求出通项公式即可.【详解】设14nnaa，则143nnaa，又因为1432nnaan，所以33，则1，所以1141nnaa，因为1110a，所以10na，所以1141nnaa为常数，所以1na是首项为1，公比为4的等比数列，所以111144nnna，所以141nna.故答案为：141nna14．已知数列na中，12(1)(1)nnnanann且11a，则数列na的通项公式为.【答案】·21nnan【分析】根据题意,可得1211nnaann，令nnabn，则112(1)nnbb，再结合等比数列的定义求解即可.【详解】∵12(1)(1)nnnanann，等式两侧同除(1)nn，可得1211nnaann，令nnabn，则121nnbb，∴112(1)nnbb，又111120ba，∴1nb是以2为首项，2为公比的等比数列，∴11222nnnb，即21nnb，∴21nnan，即·21nnan.故答案为：·21nnan.15．已知数列na中，11a，146nnaa，则2023a（）A．202342B．202342C．202242D．202242【答案】C【分析】根据给定的递推公式，构造等比数列并求出通项作答.【详解】由146nnaa，得14(2)2nnaa，而121a，因此数列2na是首项为1，公比为4的等比数列，则1214nna，即142nna，所以2022202342a.故选：C16．已知数列{}na满足11243nnnaa，11a，求数列na的通项公式．【答案】114332nnna【分析】解法一：利用待定系数法可得1143243nnnnaa，即可得到143nna是首项为3，公比为2的等比数列，从而求出其通项公式；解法二：两边同时除以13n得112243333nnnnaa，再利用构造法计算可得；【详解】解法一：因为11243nnnaa，设1123(3nnnnaa)，所以11122223333nnnnnnaaa，则22234，解得242，即1143243nnnnaa，则数列143nna是首项为111433a，公比为2的等比数列，所以114332nnna，即114332nnna；解法二：因为