专题突破卷15 三角形的“四心”及奔驰定理（原卷版）

专题突破卷15三角形的“四心”及奔驰定理1.内心问题1．已知点O是ABC所在平面上的一点，ABC的三边为,,abc，若0aOAbOBcOC，则点O是ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心2．已知点O是ABC的内心，4,3ABAC，CBCACO，则（）A．43B．53C．2D．733．三角形的四心是指三角形的重心､外心､内心､垂心.三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点.三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系.当且仅当三角形是正三角形的时候，重心､垂心､内心､外心四心合一，称作正三角形的中心.如图，H是ABC的垂心，,,AHBHCH分别交,,BCACAB于,,DEF，则H是DEF的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心4．校考期末）已知I为ABC的内心，且满足4330IAIBIC，若ABC内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（）A．92B．3C．94D．45．在ABC中，5AB，4AC，1cos8A，O是ABC的内心，若OPxOByOC，其中,0,1xy，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）A．1578B．574C．1073D．376．设O为ABC的内心，5ABAC，8BC，,AOmABnACmnR，则mn（）A．23B．59C．35D．252.外心问题7．ABC中，AH为BC边上的高且3BHHC，动点P满足214APBCBC，则点P的轨迹一定过ABC的（）A．外心B．内心C．垂心D．重心8．M为△ABC所在平面内一点，且222BMCABABC，则动点M的轨迹必通过△ABC的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心9．已知点O为ABC所在平面内一点，在ABC中，满足22ABAOAB，22ACAOAC，则点O为该三角形的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心10．在ABC中，设222ACABAMACAB，那么动点M的轨迹必通过ABC的（）A．垂心B．内心C．重心D．外心11．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足2coscosOAOBCACBOPCAACBB，R，则P的轨迹一定经过ABC的_____．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）12．在ABC中，动点P满足222CACBABCP，则P点轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心3.垂心问题13．（多选）已知M，N在ABC所在的平面内，且满足AMBMBMCMCMAM，2CANBNA，则下列结论正确的是（）A．M为ABC的外心B．M为ABC的垂心C．N为ABC的内心D．N为ABC的重心14．（多选）已知H为ABC的垂心，面积为S，cos2cabC，6BHBC，则一定有（）A．60BB．33SC．23bD．13BHBCBA15．已知H为ABC的垂心（三角形的三条高线的交点），若1235AHABAC，则sinBAC_____.16．已知ABC的垂心为点D，面积为15，且=45ABC，则BDBC_____；若1123BDBABC，则BD_____.17．若O是ABC内一点，且OAOBOAOCOCOB，则O为ABC的（）A．垂心B．重心C．外心D．内心4.重心问题18．若O是ABC内一点，0OAOBOC，则O是ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心19．已知O为ABC所在平面内一点，D是AB的中点，动点P满足1OPODOCR，则点P的轨迹一定过ABC的（）A．内心B．垂心C．重心D．AC边的中点20．边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则APGP的最小值为_____．21．已知,,,OABC是平面上的4个定点，,,ABC不共线，若点P满足OPOAABAC，其中R，则点P的轨迹一定经过ABC的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心22．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP＝(),OAABAC0，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心23．O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足()OP=OA+AB+AC，,[)0，则P的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．垂心C．内心D．重心5.奔驰定理24．设点O在ABC内部，且5370OAOBOC，则ABC与AOC的面积之比为_____.25．已知点A，B，C，P在同一平面内，13PQPA，13QRQB，13RPRC，则:ABCPBCSS等于（）A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶626．已知O是ABC内的一点，若,,BOCAOCAOB的面积分别记为123,,SSS，则1230SOASOBSOC.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是ABC的垂心，且230OAOBOC，则tan:tan:tanBACABCACB（）A．1:2:3B．1:2:4C．2:3:4D．2:3:627．如图所示，点G是ABC内一点，若7AGBS△，5BGCS△，6AGCS△，且AGxAByAC，则xy_____.28．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为AS，BS，CS，则0ABCSOASOBSOC.若O是锐角ABC内的一点，A，B，C是ABC的三个内角，且点O满足OAOBOBOCOAOC.则（）A．O为ABC的外心B．BOCAC．::cos:cos:cosOAOBOCABCD．tantantan0AOABOBCOC29．奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为AS，BS，CS，则0ABCSOASOBSOC．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角ABC内的一点，A，B，C是ABC的三个内角，且点O满足OAOBOBOCOCOA，则必有（）A．sinsinsin0AOABOBCOCB．coscoscos0AOABOBCOCC．tantantan0AOABOBCOCD．sin2sin2sin20AOABOBCOC1．已知点O是边长为6的等边△ABC的内心，则OCOAOAOB＝_____．2．已知点O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOAABAC，0，，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心3．在ABC中，4,6ABAC，点D，E分别在线段AB，AC上，且D为AB中点，12AEEC，若APADAE，则直线AP经过ABC的（）.A．内心B．外心C．重心D．垂心4．在平行四边形ABCD中，G为BCD△的重心，AGxAByAD，则2xy_____．5．设点O在ABC的内部，且45ABOBOC，则的面积OABS△与OBCS△的面积之比是_____6．（多选）已知点O是ABC所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（）A．若0OAOBOC，则O为ABC的重心B．若OAOBOC，则O为ABC的内心C．若O为ABC的重心，AD是BC边上的中线，则3AOADD．若OAOBCO，则13AOBABCSS△△7．已知点N，O，P在ABC所在平面内，且3PAPBPCPN，222OAOBOC，PAPBPBPCPCPA，则点N，O，P依次是ABC的（）A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心8．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足a·GAb·GBc·0GC，则G是△ABC中的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心9．（多选）ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，O为其重心，ah，bh，ch分别是边a，b，c上的高．若2sin3sin4sin0AOABOBCOC，则下列结论正确的是（）A．::4:3:2abcB．::2:3:4abchhhC．43cos48CD．ABC是钝角三角形10．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为1,2A，7,0B，点C在直线5y上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则OGOA、OGOB、OGOC中正数的个数为n，则n的值的集合为（）A．1,2B．1,3C．2,3D．1,2,311．如图所示，已知点G是ABO的重心.(1)求GAGBGO；(2)若PQ过ABO的重心G，且OAa，OBb，OPma，OQnb，求证：113mn.12．设点P在ABC内且为ABC的外心，30BAC，如图.若PBCPCAPAB，，的面积分别为12，x，y，则xy的最大值是_____.13．（多选）已知ABC的重心为G，外心为O，内心为I，垂心为H，则下列说法正确的是（）A．若M是BC中点，则:2:1AGGMB．若1AB，则12ABAOC．AH与coscosABACABBACC不共线D．若2||1,||2,π,(,)3ABACBACAIABACR，则9372