专题突破卷14 平面向量的最值范围问题（解析版）

专题突破卷14平面向量的最值范围问题1.数量积最值范围问题1．已知线段AB是圆22:(1)(1)4Cxy上的一条动弦，且23AB，设点O为坐标原点，则OAOB的最大值为；如果直线1:310lxmym与2:310lmxym相交于点M，则MAMB的最小值为.【答案】222642【分析】综合应用直线与圆、圆与圆的位置关系和平面向量的数量积等知识即可解决问题.【详解】设D为AB中点，则1CD，点D的轨迹方程为22(1)(1)1xy，2OOABDO，则最大值为222，由直线1:310lxmym，2:310lmxym，可得12ll且1l过定点21,3,l过定点3,1，点M的轨迹是以1,3,3,1为直径端点的圆，其方程为22222xy，MAMBMDDAMDDBMDDAMDDA22MDDA，23MAMBMD，22(12)(12)12MD221，23MAMBMD2(221)3642，MAMB的最小值为642.故答案为：222；642.2．如图，已知P是以BC为直径的上半圆上的动点（包含端点B，C），O是BC的中点，2BC，则BPOP的最大值是．【答案】2【分析】设0π，，BOP，则1cosBPOP，据此可得答案.【详解】因为2BC，所以1OBOC，所以21cos2BPOPOPOBOPOPOBOP，当且仅当cos1，即P与C重合时取等号，故BPOP的最大值是2．故答案为：23．已知非零向量AB与AC满足0ABACBCABAC，且22,62ABACABAC，点D是ABC的边AB上的动点，则DBDC的最小值为.【答案】15/-0.2【分析】根据向量的几何意义得到BAC的平分线与BC垂直，并计算出32AE，22CB，建立平面直角坐标系，表达出DBDC，配方求出最小值.【详解】,ABACABAC分别表示AB与AC方向的单位向量，故ABACABAC所在直线为BAC的平分线所在直线，又0ABACBCABAC，故BAC的平分线与BC垂直，由三线合一得到ABAC，取BC的中点E，因为22,262ABACCBABACAE，故32AE，以E为坐标原点，BC所在直线为x轴，EA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则2,0,2,0,0,32BCA，设2,3Dmm，0,2m，则222122,31022101,530DBDCmmmmmmm，当210m时，DBDC取得最小值，最小值为15.故答案为：154．如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则PAPB的取值范围是．【答案】3,4【分析】以D为原点，建立合适的直角坐标系，设(,0)Px，02x，计算出2(1)3PAPBx，根据二次函数的性质则得到其范围.【详解】以D为原点，DC,DA所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系，则0,0,0,2,2,0,(2,2)DACB，设(,0)Px，其中02x，则(,2),(2,2)PAxPBx，22()(2)2224(1)3PAPBxxxxx，当1x时,PAPB有最小值3，当0x或2时，PAPB有最大值为4，PAPB的取值范围为3,4.故答案为：3,4.5．已知边长为2的菱形ABCD中，30,DABE是边AD所在直线上的一点，则EBEC的取值范围为．【答案】0,【分析】取BC的中点Q，连接EQ，利用平面向量的运算可得221(4)4EBECEQCB，结合菱形的几何性质可得答案.【详解】取BC的中点Q，连接EQ，则2EBECEQ，所以2222211[()()](4)144EBECEBECEBECEQCBEQ，当且仅当EQBC时，EQ有最小值，则21EQ有最小值，此时菱形的面积1112sin3022221222EQBCABADEQEQ，21EQ最小值为110，因为E是边AD所在直线上的一点，所以EQ无最大值，21EQ无最大值，EBEC的取值范围为0,，故答案为：0,6．如图，半径为2的圆O内有一条长度等于半径的弦AB，若圆O内部（不含圆上）有一动点P，则2PAAPPB的取值范围为.【答案】()2,6【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法及点的坐标范围求解即可.【详解】以O为原点建立平面直角坐标系，如图：由题意三角形OAB是边长为2的正三角形，则(0,0),(1,3),(1,3)OAB，设(,)Pxy，则224xy，所以(1,3),(2,0)PAxyBA，所以2()(1)(2)(3)022PAAPPBPAPAPBPABAxyx，因为22x，所以2226x，所以2PAAPPB的取值范围为()2,6.故答案为：()2,6【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用坐标法研究数量积的范围问题，尤其是圆中的数量积的范围问题，利用坐标运算把数量积范围问题转化为函数（不等式）范围问题解决即可.2.模长最值范围问题7．已知e是单位向量，向量a满足112ae，则ar的取值范围是（）A．(0,)B．(0,1]C．1[,)2D．1[,1]2【答案】C【分析】利用向量数量积公式得到1cos12a，结合π0,2，得到不等式，求出ar的取值范围.【详解】设,ae的夹角为，由题意得1cos12ae，因为e是单位向量，故1cos12a，显然0a，且π0,2，所以11cos2aa，因为π0,2，所以cos0,1，所以112a，解得12a.故选：C8．已知,,abc是平面内的三个单位向量，若ab，则2322acabc的最小值是．【答案】25【分析】采用向量的坐标运算，得到所求模长之和的几何意义，将问题转化为单位圆上的点到1,02和3,12两点的距离之和的最小值的求解问题，由此计算得到结果.【详解】,,abc均为单位向量且ab，不妨设1,0a，0,1b，,cxy且221xy，221,2acxy，32232,22abcxy，222223222143222acabcxyxy2222132122xyxy，2322acabc的几何意义表示的是点,xy到1,02和3,12两点的距离之和的2倍，点1,02在单位圆内，点3,12在单位圆外，则点,xy到1,02和3,12两点的距离之和的最小值即为1,02和3,12两点间距离，所求最小值为22132012522.故答案为：25.9．（多选）在直角梯形ABCD中，//ADBC，ABAD，2ABAD，4BC，点P在ABCD所在的平面内，满足1DP，若M是PC的中点，则2BM的取值可能是（）A．7B．10C．13D．16【答案】BC【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由1DP，可确定点P在以D为圆心，1为半径的圆上，设cos,sinP，由三角恒等变换与平面向量模长坐标运算即可化简2BM为正弦型三角函数，结合函数性质可得其取值范围，从而得答案.【详解】以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，则点P在以D为圆心，1为半径的圆上，可设cos,sinP02π，由题意知2,2B，2,2C，则cos2sin2,22M，所以cos6sin2,22BM，则222cos6sin24112cos4sin4110sin2244BM，其中tan3，所以2414110,1044BM.故选：BC.10．设向量a，b，c，满足1abrr，12ab，acrr与bcrr的夹角为60，则cr的最大值等于【答案】2【分析】作向量OAa，OBb，OCc，根据已知条件可得出a与b的夹角为120，A，O，B，C四点共圆，再结合正余弦定理可得出结果.【详解】解：如下图，作向量OAa，OBb，OCc，CAac，CBbc，1abrr，1cos,2ababab，a与b的夹角为120，即120AOB.120AOB.又acrr与bcrr的夹角为60，即CA与CB夹角为60，A，O，B，C四点共圆.当OC为直径时cr最大，在AOB中，由余弦定理得：2222cos1203ABOAOBOAOB，3AB.AOB的外接圆的直径为2sin120AB.A，O，B，C四点共圆的圆的直径为2.cr的最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用，考查正余弦定理，考查数形结合的能力，分析问题能力，属于中档题.11．如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且ACBC，M是圆O外一点，2OM，则2MAMBMC的最大值是（）A．5B．8C．10D．12【答案】C【分析】连接AB，可知O为AB的中点，计算得出242MAMBMCMOOC，利用向量模的三角不等式可求得2MAMBMC的最大值.【详解】连接AB，如下图所示：因为ACBC，则AB为圆O的一条直径，故O为AB的中点，所以，2MAMBMOOAMOOBMO，所以，2224242MAMBMCMOMOOCMOOCMOOC422110，当且仅当M、O、C共线且MO、OC同向时，等号成立，因此，2MAMBMC的最大值为10.故选：C.12．已知平面向量a，b，c满足||||1ab，(2)aab，(2)()0cacb，则||c的最大值为（）A．0B．3C．732D．7【答案】C【分析】根据向量的坐标运算，结合几何图形的几何性质，即可求解最值.【详解】设平面向量a，b的夹角为，||||1ab，(2)aab，2·(2)2?12cos0aabaab，则1cos,2由于0,π，所以π3．不妨设(1,0)a，13,,,22bcOCxy．(2)?()0cacb，13()(2)()022xxyy，化为22533()()444xy．故,Cxy在以53,44M为圆心，以32为半径的圆上运动，如图所示，c表示原点到圆上一点的距离，故当经过圆心时，距离最大或者最小，故222253373()()4422cxyOMr．故选：C．3.夹角最值范围问题13．不共线的向量a，b的夹角为θ，若向量2ab与ab的夹角也为θ，则cosθ的最小值为.【答案】22【分析】可根据向量的加减法的几何意义，作出图形，可得三角形相似，利用余弦定理、三角形相似列出方程，表示出cosθ，然后求其最小值.【详解】如图，不妨令ABBCa，ADb，10abx，＞则DBab，2DCab，∴∠A＝∠BDC＝θ，∠C是公共角，∴△ADC∽△DBC.则DCADBCDB①