专题突破卷13 解三角形的图形归类（含中线、角平分线、高）（原卷版）

专题突破卷13解三角形的图形归类（含中线、角平分线、高）1.四边形问题1．如图，在四边形ABCD中，已知ABC的面积为222134SACABBC，记ACD的面积为2S.(1)求ABC的大小；(2)若3CDBC，设30CAD，120BCD，问是否存在常数，使得12SS成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.2．如图所示，在平面四边形ABCD中，150ABC，60ACD，3AB，1BC，7CD．(1)求BD的长；(2)若AC与BD交于点O，求AOD△的面积．3．（2023·北京大兴·统考三模）如图，平面四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，ABDCBD，ACAD，3AEEB，5DE.(1)求ADB的面积；(2)求sinBAC的值及EC的长度.4．如图，四边形ABCD的内角πBD，3AB，1DA，BCCD，且7AC．(1)求角B；(2)若点P是线段AB上的一点，3PC，求PA的值．5．如图，四边形ABCD是由ABC与正ACD拼接而成，设1AB，sin3sinBACACB.(1)当90ABC时，设BDxBAyBC，求x，y的值；(2)当150ABCo时，求线段BD的长.6．某市准备规划一条平面示意图如图所示的五边形赛道，,,,,EDDCCBBAAE为赛道（不考虑宽度），BE为赛道内的一条服务通道2π3BCDCDEBAE，4km,3kmDEBCCD．(1)求服务通道BE的长度；(2)若3kmAE，求赛道AB的长度．2.四边形的最值问题7．如图，在梯形ABCD中，//ABCD，2ADBCAB，CDAC．(1)求CD；(2)平面内点P在直线CD的上方，且满足25DPCACB，求DPCP的最大值．8．为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地（ABC区域）进行分区改造.BNC区域为蔬菜种植区，CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，MNC区域规划为学生自主栽培区.MNC的周围将筑起护栏.已知20mAC，40mAB，60BAC，30MCN.(1)若10mAM，求护栏的长度（MNC的周长）；(2)学生自主栽培区MNC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.9．在平面四边形ABCD中；2ABBCCD；23AD，(1)若四边形ABCD为圆内接四边形；求AC；(2)求四边形ABCD面积最大值．10．在圆O的内接四边形ABCD中，2AB，1CD，π3A，示意如图．(1)若AC是圆O的直径，求AD的长；(2)若圆O的直径为5，求四边形ABCD的面积．11．（2023·云南保山·统考二模）如图，在平面四边形ABCD中，1AB，3BC，2ADCD.(1)当四边形ABCD内接于圆O时，求角C；(2)当四边形ABCD面积最大时，求对角线BD的长.12．如图，在平面四边形ABCD中，AC=4，BC⊥CD.(1)若AB=3，BC=2，CD=5，求ACD的面积；(2)若2ππ,36BD，求3162ADBC的最大值.3.外接圆问题13．在圆O的内接四边形ABCD中，2AB，3BC，22CD，1DA．则下列说法正确的是（）A．四边形ABCD的面积为72B．圆O的半径为10C．12AOBDD．若DHBC于点H，则4DBDH14．如图，已知圆O内接四边形ABCD中，2,6,4ABBCADCD，则下列说法正确的是（）.A．π3CB．四边形ABCD的面积为83C．该外接圆的直径为2213D．4BOCD15．平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知2,23ABBCCDAD．(1)当BD长度变化时，3coscosAC是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．(2)记ABD△与BCD△的面积分别为1S和2S，请求出2212SS的最大值．16．已知平面四边形ABCD中，23AB，23BC，3CD，4AD，且四边形ABCD有外接圆E．(1)求角D的大小；(2)求tanDAC的值．17．如图，已知BC为O的直径，点A、F在O上，ADBC，垂足为D，BF交AD于E，且AEBE．(1)求证：ABAF；(2)如果3sin5FBC，45AB，求AD的长．18．如图所示，四边形ABCD的外接圆为圆,2,3,tan22OBCACB.(1)求sinACB；(2)若CODAOD，求AD的长.4.内切圆问题19．在ABC中，已知2AB，4AC，π3BAC．(1)求ABC面积；(2)求ABC内切圆半径．20．如图，某景区有一块圆形水域，水域边上有三处景点A，B，C，景点之间有观景桥相连，已知AB，BC，AC长度分别为30m，50m，70m．(1)求圆形水域面积；(2)为了充分利用水域，现进行景区改造，准备在优弧AC上新建景点D，修桥DC，DA与景点A，C相连，并准备在ACD修建一块圆形观赏鱼饲养区，使其分别与桥AC，DC，DA相切，求圆形观赏鱼饲养区半径的最大值．21．锐角ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，2b且bc，cos41cosbcBcC.(1)求证：2AC；(2)将AC延长至D，使得3CDAC，记ABD△的内切圆与边AD相切于点T，AT是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.22．如图，平面四边形ABCD中，5AD，3CD，120ADC．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinsinsinsinabACcAB．(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；(2)求ABC内切圆半径r的取值范围．5.垂线问题23．在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积为S，且满足323ABACSbc.(1)求角A的大小；(2)设BC边上的高1AD，求S的最小值.24．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin,sincosmBCC，cossin,cosnCCB，12mn．(1)求sin2A；(2)若3a，BC边上的高线长71，求sinsinBC．25．已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2cosacbA．(1)证明：2BA；(2)设D为边BC上的中点，点E在AB边上，满足DEAB，且6A，四边形ACDE的面积为1538，求线段CE的长．26．ABC中120,4,BACABACD在边BC上,且3DCBD．(1)求AD的长;(2)若DHAC于H,求cosADH．6.角平分线问题27．ABC中，ABC的角平分线BD交AC于D点，若2BD且2π3ABC，则ABCS的最小值为_____．28．在ABC中，2AB，60,6BACBC，D为BC上一点，AD为BAC的平分线，则AD_____.29．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且3sinsin2BCbaB，边BC上有一动点D.(1)当D为边BC中点时，若3,2ADb，求c的长度；(2)当AD为BAC的平分线时，若4a，求AD的最大值.30．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b．c．若2π3A，角A的平分线AD交BC于点D，2AD，6b，则以下结论正确的是（）A．3cB．2BDCDC．ABC的面积为932D．35a31．（2023·江苏盐城·统考三模）在ABC中,AD为ABC的角平分线,且2AD.(1)若2π3BAC,3AB,求ABC的面积;(2)若3BD,求边AC的取值范围.32．在ABC中，点D是BC上一点，AD平分BAC，2BC，23ABDACDSS，求：(1)cosC的值；(2)若2AC，求CD的长.7.中线问题33．在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc.已知2sinsin353,cossin412bABAaC.(1)求cosB；(2)若ABC的面积为23，且D为AC的中点，求线段BD的长.34．已知ABC中，2coscbB，2π3C．(1)求B的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①2cb；②周长为423；③面积为334ABCS△．35．在ABC中，3C，=2AC，M为AB边上的中点，且CM的长度为7，则=AB（）A．23B．4C．27D．636．在①sinsinsinsin()A―CabcBC，②coscos2BbCac，③πsincos6aBCBb这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．(1)求角B；(2)若3ac，点D是AC的中点，求线段BD的取值范围．37．已知在ABC中，3222babbcac，2π3C．(1)求A的大小；(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①ABC周长为23；②1a；③ABC面积为334；④2ca38．在ABC中，9AB，点D在边BC上，7AD.(1)若2cos3B，求BD的值，(2)若2cos3BAC，且点D是边BC的中点，求AC的值.8.其余等分点问题39．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2AB．(1)求证：22abbc；(2)若2cos3B，点D为边AB上一点，34ADDB，26CD，求边长b．40．已知三角形ABC，4AB，2AC(1)若π3A且AD为BAC的平分线，D为BC上点，求ADBC的值.(2)若3BC，2BDDC，求AD的长41．在①cos3sincAaC；②()(sinsin)(3)sinabABcbC；③3coscos3bAaBbc这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．(1)求角A的大小；(2)若D为线段CB延长线上的一点，且2,3,23CBBDADAC，求ABC的面积．42．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且ADAC，1sin2DAB，2AB．(1)若2BC，求sinC的值；(2)若BC边上点E满足2BEEC，5π12ADE，求AE．43．某农户有一个三角形地块ABC，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域ABD（点D在BC上）用来养一些家禽，经专业测量得到13,cos3ABB.(1)若2cos2ADC，求AD的长；(2)若sin2,42sinBADBDDCCAD，求ADC△的周长.44．记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知coscosbAaBbc.(1)求A；(2)若点D在BC边上，且2CDBD，3cos3B，求tanBAD.1．在ABC中，2,2BCABAC，D为BC的中点，则tanADC的最大值为_____．2．在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别是a，b，c，若2coscoscbBaA(1)求角A的大小；(2)若2a，求中线AD长的范围（点D是边BC中点）.3．已知D是ABC的边BC上一点，且3BCBD，2AD，tan15BAC，则2ACAB的最大值为_____．4．如图，平面四边形ABCD中，ABAD，ABAD，3BC，1CD，则四边形ABCD的面积的最大值为_____．5．在ABC中，点D在BC上，满足AD＝BC，sinsinADBACABB．(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；(2)若2BDDC，求cosB．6．如图，ABC