专题突破卷12 解三角形中的最值范围问题（解析版）

专题突破卷12解三角形中的最值范围问题1.角与对边型（基本不等式法）1．在①sinsin2BCcaC，②2coscoscosAbCcBa，③22(sinsin)sinsinsinBCABC，这三个条件中任选一个补充在横线上，回答下面问题.在ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若___________.(1)求A的值；(2)若边长3a，求ABC面积的最大值.【答案】(1)π3A(2)934【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解，（2）由余弦定理结合基本不等式即可求解.【详解】（1）若选①：由sinsin2BCcaC及正弦定理有：πsinsinsinsin2ACAC，由于sin0C，所以cossin2sincos222AAAA，由于π0,,cos0222AA，即1sin,22A所以π,26A所以π3A；若选②：2coscoscosAbCcBa，由正弦定理得2cossincossincossinABCCBA，即2cossin2cossinsinABCAAA，1sin0,cos2AA，又0,πA，所以π3A；若选③：22(sinsin)sinsinsinBCABC，由正弦定理得22()bcabc，即2222bcbcabc，222222cosabcbcbcbcA，1cos2A，由于0,πA，所以π3A；（2）由余弦定理得：2222cosabcbcA，即229bcbc，222,92bcbcbcbcbc，当且仅当3bc时等号成立，则11393sin92224ABCSbcA，则ABC面积的最大值为9342．ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知cos22sin,cosBabbBCc.(1)求c；(2)求ABC周长的最大值.【答案】(1)3(2)33【分析】（1）运用正弦定理结合条件求解即得；（2）运用余弦定理和基本不等式求解.【详解】（1）由正弦定理，可知cos22sinsincossinBabABCcC，整理得sincossincos2sincosCBBCAC，因为πABC，所以sin2sincosAAC，因为0,A，所以sin0A，所以1cos2C，又因为0,πC，所以π3C，又sinsinbcBC，所以sinπ2sin3sin3bCcB；（2）由余弦定理，得2221cos22abcCab，所以2223ababcab，则223()33()34ababab，所以23ab，当且仅当“3ab”时取得等号，所以ABC周长abc的最大值为33；综上，3c，ABC周长abc的最大值为33.3．在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，3sincos3bCcBa.(1)若2,1ab，求ABC的面积；(2)若2c，求ABC周长的取值范围.【答案】(1)32(2)4,6【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，结合三角变换与同角基本关系可求得C，结合已知与面积公式即可求解；（2）用正弦定理把边化角，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的值域求解，即可得到答案.【详解】（1）因为3sincos3bCcBa，由正弦定理，可得3sinsinsincossin3BCCBA，又由πABC，可得sinsin()ABC，所以3sinsinsincossin3BCCBBC，所以3sinsinsincossincoscossin3BCCBBCBC，即3sinsinsincos3BCBC，因为(0,π)B，可得sin0B，所以3sincos3CC，即tan3C，又因为(0,π)C，所以π3C，所以ABC的面积为11π3sin21sin2232abC.（2）由（1）可知π3C，由正弦定理得2πsinsinsinsin3abcABC，所以4343sin,sin33aAbB，所以434343432πsinsin2sinsin233333abcABAA4333πsincos24sin23226AAA，因为2π03A，所以ππ5π666A，所以1πsin126A，所以44sin266A，故ABC周长的取值范围为4,6.4．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cossinabCcB，23b.(1)求ABC外接圆的半径；(2)求ac的取值范围.【答案】(1)2(2)23,43【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出B，最后由正弦定理求出外接圆的半径；（2）由余弦定理及基本不等式求出ac的最大值，再由三边关系求出ac的范围.【详解】（1）因为3cossinabCcB，由正弦定理得3sin3sincossinsinABCCB，且sinsinsincoscossinABCBCBC，所以3cossinsinsinBCCB，因为sin0C，所以3cossinBB，所以tan3B，又0,πB，所以π3B，又2342sin32bRB，所以2R，即ABC外接圆的半径为2.（2）由余弦定理得2222222cos3bacacBacacacac，因为24acac，当且仅当ac时取等号，所以222231344acacacacac，即2214bac，2acb，所以43ac，当且仅当23ac时取等号，且23acb，所以23,43ac.5．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2sinaBb.(1)求角A；(2)若4a，求△ABC的面积的最大值.【答案】(1)π4A(2)424【分析】（1）利用正弦定理进行边化角即可得到答案；（2）利用余弦定理和基本不等式即可求出bc的最大值，最后利用三角形面积公式即可.【详解】（1）在ABC中，由条件及正弦定理得2sinsinsinABB，π0,2B，sin0B，2sin2A，ππ0,,24AA.（2）4a，由余弦定理得222162cos22abcbcAbc，1682bc，当且仅当2422bc时等号成立，1sin4242ABCSbcA，所以ABC的面积的最大值为424.6．在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC所对的边，若π3A，224acb．(1)求ABC的面积；(2)求a的最小值．【答案】(1)3(2)2【分析】（1）利用余弦定理结合题干条件可推出4bc，然后由三角形的面积公式求解；（2）结合（1）中推出的条件和基本不等式进行求解.【详解】（1）由余弦定理，222abcbc，结合224acb可得222()4bcbccb，整理可得4bc，根据三角形的面积公式，113sin43222ABCSbcA.（2）由（1）知4bc，根据基本不等式，22224abcbcbcbc≥，当2bc时，a的最小值是2.2.角与对边型（三角函数法）7．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，π3B，23b，若ABC有且仅有一个解，则ac的取值范围是.【答案】23,23【分析】根据正弦定理可得π4sin()3acA，据此可求ac的取值范围.【详解】由正弦定理可得2sin2sin(sinsin)sinbacRARCACBπ13π4sinsin()4(sincos)4sin()3223AAAAA因此ABC有且仅有一个解，故直线yac与π4sin()3fAA在2π0,3上的图象有且仅有一个交点，当2π0,3A时，πππ,333A，而sinyt在ππ,33为增函数，故π4sin()3fAA在2π0,3上为增函数，因023f，2π233f，故23,23ac，故答案为：23,23.8．ABC三内角A，B，C所对边分别是a，b，c.若3b，2223acacb，则23ac的最大值为（）A．27B．32C．257D．357【答案】C【分析】由已知及余弦定理可得π6B，再应用正弦定理有23sinaA，23sincC，将目标式转化为23257sin()acC且3tan4，利用正弦型函数性质求最大值即可.【详解】因为2223acacb，由余弦定理2223cos22acbBac，又0πB，故π6B，由正弦定理知：23sinsinsinbacBAC，则23sinaA，23sincC，所以2312sin23sinacAC，而π65AC，则5π2312sin23sin12sin23sin6acACCC5π5π12sincoscossin23sin66CCC6cos83sinCC257sinC，且3tan4，又5π06C，当π2C时23ac的最大值为257.故选：C9．已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2coscosacbABAC．(1)求角B的大小；(2)若3b，求ac的取值范围．【答案】(1)π3B(2)33,6【分析】（1）先利用诱导公式及正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式化简即可得解；（2）先利用正弦定理求出,bc，再根据三角恒等变换结合正弦函数的性质即可得解.【详解】（1）由2coscosacbABAC，即2cosπcosπacbCB，得2coscosacbCB，由正弦定理可得2sinsinsincoscosACBCB，即2sinsincossincosACBBC，所以2sincossincossincossinABBCCBBC，所以2sincossinABA，因为0,πA，所以sin0A，所以1cos2B，又0,πB，所以π3B；（2）由正弦定理sinsinsinabcABC，所以2πsinsin23sinsinsin3bacACAAB3131π23sincossin6sincos6sin22226AAAAAA，因为ABC为锐角三角形，且π3B，所以π022ππ032AA，解得ππ62A，所以ππ2π,633A，所以3sin,162πA，π6sin33,66B，所以bc的取值范围为33,6.10．已知函数2πcos223cos32fxxx.(1)若π0,2x，求函数fx的值域；(2)设三角形ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知2b，且锐角B满足0fB，求ac的取值范围.【答案】(1)3,2(2)2,4【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为π2sin23fxx，由π0,2x可求出π23x的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数fx的值域；（2）由已知条件可得出πsin20