专题突破卷09 奇偶性、对称性与周期性（解析版）

专题突破卷09奇偶性、对称性与周期性1.对称轴1．定义在R上的奇函数()fx满足(2)()fxfx，且()fx在区间[1,0]上是增函数，给出下列三个命题：①()fx的图象关于点(2,0)对称；②()fx在区间[1,2]上是减函数；③502f其中所有真命题的序号是．【答案】①②【分析】根据给定条件，结合赋值法推理判断①；利用奇函数性质、函数对称性推理判断②；导出函数的周期，计算判断③作答.【详解】因为()fx是R上的奇函数，则(2)()()fxfxfx，即(2)()0fxfx，从而(2)()0fxfx，即有(2)(2)0fxfx，因此()fx的图象关于点(2,0)对称，①是真命题；因为()fx是R上的奇函数，且在区间[1,0]上是增函数，则()fx在区间[0,1]上是增函数，由(2)()fxfx知，函数()fx的图象关于直线1x对称，因此()fx在区间[1,2]上是减函数，②是真命题；由(2)()0fxfx知，(2)()fxfx，则(4)(2)()fxfxfx，即()fx是周期为4的函数，因此504122200ffff，③是假命题，所以所有真命题的序号是①②故答案为：①②2．已知函数fx的定义域为R，41yfx是偶函数，当4x时，242fxx，则不等式3524fxfx的解集为．【答案】1,1,5【分析】分析可知函数fx的图象关于直线4x对称，且该函数4,上单调递增，由3524fxfx可得出关于x的不等式，解之即可.【详解】因为函数fx的定义域为R，41yfx是偶函数，则4141fxfx，即44fxfx，所以，函数fx的图象关于直线4x对称，当4x时，242fxx，则函数fx在,4上单调递减，故函数fx在4,上单调递增，因为3524fxfx，则354244xx，即312xx，即22314xx，即1510xx，解得15x或1x，因此，不等式3524fxfx的解集为1,1,5.故答案为：1,1,5.3．设函数fx的定义域为R，fxfx，2fxfx，当0,1x时，3fxx，则函数|cosπ|gxxfx在区间3[1,]2上零点的个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】D【分析】分析函数()fx的性质，结合幂函数的图象，作出()fx在[1,2]上的图象，再作出|cosπ|yx在3[1,]2上的图象，求出两图象的交点个数作答.【详解】由()()fxfx，得()fx的图象关于y轴对称，由()(2)fxfx，得()fx的图象关于直线1x对称，令()|cosπ|()0gxxfx，得|cosπ|()xfx，函数cosπyx是周期为1的偶函数，当0,1x时，3fxx＝，在同一坐标系内作出函数()yfx在1,2上的图象，函数cosπyx在3[1,]2上的图象，如图，观察图象知，函数()yfx与|cosπ|yx的图象在3[1,]2上的交点有7个，所以函数|cosπ|gxxfx在区间3[1,]2上零点的个数为7.故选：D4．（多选）若函数fx满足xR，22fxfx，且1x，22,x，1212120fxfxxxxx，则（）A．2fx为偶函数B．03ffC．2154faafD．若3fmf，则13m【答案】AC【分析】先由函数的对称性可找到对称轴2x，即可判断A选项；再由题找到函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，可判定BCD选项.【详解】由题意可得fx的图象关于直线2x对称，且fx在2,上单调递增，则fx在,2上单调递减，且2fx的图象关于直线0x对称，由偶函数图象的特征得A正确．结合函数fx的单调性和fx图象的对称性得，距离2x越近，函数值越小，|02||32|，所以B不正确．对C，222133512122444aaaaa，所以C正确．对D，若3fmf，则直线xm距离直线2x更远，即21m，解得3m或1m，所以D不正确．故选：AC．5．函数fxxmx满足2=fxfx，且在区间,ab上的值域是3,1，则坐标,ab所表示的点在图中的（）.A．线段AD和线段BC上B．线段AD和线段DC上C．线段AB和线段DC上D．线段AC和线段BD上【答案】B【分析】根据函数的对称性，可得函数的对称轴，结合二次函数的性质，可得函数解析式并画出图象，根据值域，可得,ab的取值范围，可得答案.【详解】函数fxxmx满足2=fxfx，故函数的图象关于直线1x对称，且开口向上下，所以，2m，2fxxx.再根据133ff，11f，画出函数fx的图象，如图所示：故有11a，13b.且当1a时，13b；11a时，3b，故坐标,ab所表示的点在图中的线段AD和线段DC上，故选：B.2.对称中心6．（多选）已知定义在R上的函数yfx满足32fxfx，且34fx为奇函数，11f，02f．下列说法正确的是（）A．3是函数yfx的一个周期B．函数yfx的图象关于直线34x对称C．函数yfx是偶函数D．202311kfk【答案】ACD【分析】根据32fxfx可得3()fxfx即可确定周期求解选项A；根据34fx为奇函数，可得3344fxfx即可求解选项B；根据题设条件可得()()fxfx即可求解选项C；利用函数的周期性和函数值可求解选项D.【详解】对A，因为32fxfx，所以333()222fxfxfx，即3()fxfx，所以3是函数yfx的一个周期，A正确；对B，因为34fx为奇函数，所以3344fxfx，所以函数yfx的图象关于点3,04中心对称，B错误；对C，因为3344fxfx，所以3333()4444fxfxfx，即3223fxffxx，即()()fxfx，所以函数yfx是偶函数，C正确；对D，(1)1,1ff(2)(1)1ff，(3)(0)2ff所以(1)(2)(3)0fff，所以20231(1)(2)(3)(4)(5)(6)(2020)(2021)(2022)(2023)kfkffffffffffL(2023)(1)1ff，D正确；故选:ACD.7．（多选）函数()fx是定义在R上的奇函数，且在(2,2)上单调递增，()(2)gxfx也是奇函数，则（）A．函数()fx是周期为4的周期函数B．函数()gx是周期为2的周期函数C．函数()fx的图像关于点(4,0)对称D．5(2),,(5)2ggg大小关系为5(5)(2)2ggg【答案】ACD【分析】A选项，根据()fx与gx均是定义在R上的奇函数，得到(2)(2)fxfx，得到()fx是周期为4的周期函数；C选项，根据()fx的周期及对称性得到C正确；B选项，由()(2)gxfx及()fx的周期得到()gx的周期；D选项，根据对称性及周期得到51(2)(0)0,,(5)(1)22gfgfgf，结合()fx在(2,2)上单调递增，比较出大小关系，D正确.【详解】A选项，由题意得()(),()()fxfxgxgx，又()(2)gxfx，所以(2)(2)fxfx，又()fx是定义在R上的奇函数，所以(2)(2)fxfx，即(2)(2)fxfx，所以函数()fx周期为4，故A正确，B错误；C选项，因为()fx的图像关于点(0,0)对称，周期为4，所以函数()fx的图像关于点(4,0)对称，故C正确；由()(2)gxfx，得(4)(2)(24)(2)()gxfxfxfxgx，即函数()gx是周期为4的周期函数，故B错误.D选项，因为()fx是定义在R上的奇函数，所以00f，由551(2)(22)(0)0,2,(5)(52)(3)(34)(1)222gffgffgffff，且()fx在(2,2)上单调递增，得1(1)(0)2fff，所以5(5)(2)2ggg，故D正确.故选：ACD.8．（多选）已知定义在R上的函数yfx满足条件1fxfx，且函数1yfx为奇函数，则下列说法中正确的是（）A．函数fx是周期函数B．函数fx为R上的偶函数C．函数fx的图象关于点1,0对称D．函数fx为R上的单调函数【答案】AC【分析】由题可得2fxfx即可判断A；由1yfx为奇函数可得110fxfx，即可判断B；由2fxfx、2()fxfx可得fxfx，即可判断C；根据fx为R上的奇函数，结合单调函数的定义即可判断D.【详解】A选项，由1fxfx，得21fxfxfx，即2T，故A正确；B选项，因为1yfx为奇函数，11fxfx，用1x换x，得2fxfx，又2()fxfx，所以fxfx，即函数fx为R上的奇函数，故B错误；C选项，因为1yfx为奇函数，所以11110fxfxfxfx，则yfx的图象关于点1,0对称，故C正确；D选项，因为函数fx为R上的奇函数，其图象关于原点对称，函数fx在(,0)和(0,)的单调性相同，但函数fx在R上不一定为单调函数，故D错误.故选：AC.9．设函数fx的定义域为R，且2fx是奇函数，则fx图像（）A．关于点2,0中心对称B．关于点2,0中心对称C．关于直线2x对称D．关于直线2x对称【答案】A【分析】根据奇函数的性质，结合对称性，即可得出答案.【详解】因为2fx为奇函数，所以22fxfx，所以函数fx图象关于点2,0中心对称.故选：A.10．已知函数1yfx为奇函数，则函数1yfx的图象（）A．关于点1,1对称B．关于点()1,1-对称C．关于点1,1对称D．关于点1,1对称【答案】A【分析】根据1yfx为奇函数，得到yfx关于1,0对称，进而得到答案.【详解】函数1yfx为奇函数，图像关于0,0对称，则函数yfx关于1,0对称，所以函数1yfx的图象关于1,1对称．故选：A.11．已知函数fx对任意xR都