专题突破卷08 极值点偏移（解析版）

专题突破卷08极值点偏移1.加法不含参型1．已知函数1lnxaxfxx(1)若函数fx在定义域上单调递增，求a的最大值；(2)若函数fx在定义域上有两个极值点1x和2x，若21xx，ee2，求12xx的最小值．【答案】(1)2(2)e【分析】（1）求出fx，由题意可知，对任意的0x，0fx，可得出ln1axx，利用导数求出函数ln1gxxx的最小值，即可求得实数a的最大值；（2）设211xtx，由极值点的定义可得出1122ln10ln10xxaxxa，变形可得出1ln1txt，2ln1ttxt，由此可得出12ln1ttxxt，利用导数求出函数ln1tthtt在1,上的最小值，即为所求.【详解】（1）解：因为1ln11lnxaxaxxxfxxx，其中0x，则221ln11lnln1xaxxaxxxxxaxfxxx，因为函数fx在0,上单调递增，对任意的0x，ln10xxa，即ln1axx，令ln1gxxx，其中0x，则minagx，111xgxxx，由0gx可得01x，由0gx可得1x，所以，函数gx的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,，所以，min11ln112gxg，故2a，所以，a的最大值为2.（2）解：由题意可知，210xx，设211xtx，由1200fxfx可得1122ln10ln10xxaxxa，则1111ln10lnln10xxatxtxa，可得1ln1txt，2ln1ttxt，所以，12ln1ttxxt，令ln1tthtt，其中1t，所以，211ln1ttthtt，令11lnptttt，其中1t，则22111ttptttt，因为ee21，由0pt，可得1t，由0pt可得t，所以，函数pt在1,上单调递减，在,上单调递增，且ee2e，又因为eee2ee21ee210p且10p，所以，当1et时，0pt，即0ht，当te时，0pt，即0ht，所以，函数ht在1,e上单调递减，在e,上单调递增，所以，2minee2eeeee1e1hth.【点睛】方法点睛：求函数fx在区间,ab上的最值的方法：（1）若函数fx在区间,ab上单调，则fa与()fb一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数fx在区间,ab内有极值，则要求先求出函数fx在区间,ab上的极值，再与fa、()fb比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数fx在区间,ab上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.2．已知函数lnfxx.(1)讨论函数Rgxfxaxa﹣的单调性；(2)①证明函数1()()exFxfx（e为自然对数的底数）在区间1,2内有唯一的零点；②设①中函数Fx的零点为0x，记()min(),exxmxxfx（其中min{,}ab表示,ab中的较小值），若()Rmxnn在区间1,内有两个不相等的实数根1212,xxxx，证明：1202xxx.【答案】(1)当0a时，gx在0,上单调递增；当0a时，gx在10,a上单调递增，在1,a上单调递减.(2)①证明见解析；②证明见解析；【分析】（1）由题设有1()(0)axgxxx，讨论0a、0a判断()gx的符号，进而确定gx的单调性；（2）①由题意得11()exFxx，利用导数研究函数在1,2上的单调性，结合零点存在性定理确定证明结论，②根据题设确定函数()mx解析式，应用导数研究单调性，进而应用分析法：要证1202xxx只需要证01011122lnexxxxxx，构造函数0022()lnexxxxhxxx，应用导数研究单调性并确定()0hx，即可证结论.【详解】（1）由已知lngxxax，函数gx的定义域为0,，导函数11()(0)axgxaxxx当0a时，0gx恒成立，所以gx在0,上单调递增；当0a时，令0gx有1xa，∴当10,xa时，0gx，gx单调递增，当1,xa时，0gx，gx单调递减.综上所述：当0a时，gx在0,上单调递增；当0a时，gx在10,a上单调递增，在1,a上单调递减.（2）①1()lnexFxx的定义域为0,，导函数11()exFxx，当1,2x时，0Fx，即Fx在区间1,2内单调递增，又1(1)0eF，21(2)ln20eF，且Fx在区间1,2内的图像连续不断，∴根据零点存在性定理，有Fx在区间1,2内有且仅有唯一零点.②当0x时，11()0exFxx，函数1()lnexFxx在0,上单调递增，又00Fx，∴当01xx时，()0Fx，故1()exfx，即()exxxfx；当0xx时，()0Fx，故1()exfx，即()exxxfx，∴可得00ln,1(),exxxxxmxxxx，当01xx时，()lnmxxx，由()1ln0mxx得mx单调递增；当0xx时，()exxmx，由1()0exxmx得mx单调递减：若()mxn在区间1,内有两个不相等的实数根1x，212xxx，则101,xx，20,xx∴要证1202xxx，需证2012xxx，又0102xxx，而mx在0,x内递减，故需证2012mxmxx，又12mxmx，即证1012mxmxx，即01011122lnexxxxxx下证01011122lnexxxxxx：记0022()lnexxxxhxxx，01xx，由00Fx知：0()0hx，记()ettt，则1()ettt：当0,1t时，()0t；当1,t时，()0t，故max1()et，而()0t，所以10()et，由021xx，可知002210eexxxx.∴00022211()1ln10eeexxxxxxhxx，即hx单调递增，∴当01xx时，0()()0hxhx，即01011122lnexxxxxx，故1202xxx，得证.【点睛】关键点点睛：（1）分类讨论参数的范围，应用导数在对应区间的符号研究函数的单调性；（2）由导数研究Fx在1,2上零点的个数，写出()mx解析式并判断单调性，利用分析法：将要证明的结论转化为函数不等式恒成立.3．已知函数2lnfxxxaaR.(1)求函数fx的单调区间；(2)若函数fx有两个零点1x、2x，证明1221exx.【答案】(1)单调减区间为10,e，单调增区间为1,e(2)证明见解析【分析】（1）利用函数单调性与导数的关系可求得函数fx的增区间和减区间；（2）设12xx，由（1）可得1210exx，先证122exx，即证1120efxfx，构造函数2egxfxfx，其中10,ex，利用导数分析函数gx在10,e上的单调性，可证得122exx成立；其次证明出121xx，令21xtx，则1t，将所证不等式变形为即证1ln1ln1tttttt，令ln1xxuxx，1,x，利用导数分析函数ux的单调性，可证得121xx，综合可得结论.【详解】（1）解：因为2lnfxxxaaR的定义域为0,，则()()2ln2ln1fxxxxxx¢=+=+，令()0fx¢，解得1ex，令0fx，解得10ex，所以fx的单调减区间为10,e，单调增区间为1,e.（2）证明：不妨设12xx，由（1）知：必有1210exx.要证122exx，即证212exx，即证212efxfx，又21fxfx，即证1120efxfx.令2egxfxfx，其中10,ex，则222ln12ln1eegxxxxx，令hxgx，则22ln112ln112ln02eexhxxxx在10,ex时恒成立，所以hx在10,e上单调递减，即gx在10,e上单调递减，所以10egxg，所以gx在10,e上单调递增，所以110egxg，即1120efxfx，所以122exx；接下来证明121xx，令21xtx，则1t，又12fxfx，即221122lnlnxxxx，所以212lnln1ttxt，要证121xx，即证111xtx，有111tx，不等式111tx两边取对数，即证1lnln10xt，即证22lnln101tttt，即证1ln1ln1tttttt，令ln1xxuxx，1,x，则22ln11lnln111xxxxxxuxxx，令ln1pxxx，其中1,x，则1110xpxxx，所以，px在1,上单调递增，则当1,x时，10pxp，故当1,x时，2ln101xxuxx可得函数ux单调递增，可得1utut，即1ln1ln1tttttt，所以121xx，综上，1221exx.【点睛】方法点睛：证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明122xxa（或122xxa）：①首先构造函数2gxfxfax，求导，确定函数yfx和函数ygx的单调性；②确定两个零点12xax，且12fxfx，由函数值1gx与ga的大小关系，得1112122gxfxfaxfxfax与零进行大小比较；③再由函数yfx在区间,a上的单调性得到2x与12ax的大小，从而证明相应问题；（2）证明212xxa（或212xxa）（1x、2x都为正数）：①首先构造函数2agxfx