专题突破卷05 含参函数讨论单调性（解析版）

专题突破卷05含参函数讨论单调性1.导函数为一次函数型1．已知函数1()lnfxkxx，其中k为常数，且Rk．(1)当1k时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；(2)求函数()fx的单调区间；【答案】(1)23yx(2)答案见解析【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求解切线方程；（2）对函数求导，分0k和0k两种情况讨论函数的单调性即可；【详解】（1）当1k时，函数1()lnfxxx．令1x，得(1)1f，即切点坐标为(1,1)．导函数211fxxx．令1x，得(1)2f，即切线斜率2k．故切线方程为12(1)yx，即23yx．（2）函数()fx的定义域为(0,)．导函数2211kkxfxxxx．讨论：①当0k时，()0fx¢恒成立，故函数()fx的单调增区间为(0,)．②当0k时，令'()0fx，解得1xk．x1(0,)k1k1(,)k'()fx0()fxy极大值所以函数()fx的单调增区间为1(0,)k，单调减区间为1(,)k．综上所述，当0k时，函数()fx的单调增区间为(0,)；当0k时，函数()fx的单调增区间为1(0,)k，单调减区间为1(,)k．2．已知函数,lnfxxgxx.(1)令hxafxgx，讨论hx的极值；【答案】(1)见解析【分析】（1）求出hx的导数，讨论其符号后可得hx的极值.【详解】（1）lnhxaxx，则1axhxx，若0a，则0hx，此时hx无极值；若0a，由0hx得10xa；由0hx得1xa；则hx在10,a上为减函数，在1,a上为增函数，故hx在1xa处取极小值且极小值为11ln1lnaa，综上，当0a时，hx无极值；当0a时，hx有极小值为1lna，无极大值.3．已知函数ln11fxaxx，31exxhxx；(1)求fx函数的单调性；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）对fx求导，分类讨论11a和11a，判断fx与0得大小，即可得出答案.【详解】（1）fx的定义域为(1,)，则[(1)]()111axafxxx，当11a时，即0a时，fx在1,上单调递增，当11a时，即0a时，则()0fx即1xa，令()0fx¢得11xa，令0fx得1xa，则fx在1,1a上单调递增，在1,a上单调递减，综上所述：当0a时，fx在1,上单调递增；当0a时，则fx在1,1a上单调递增，在1,a上单调递减；4．已知lnfxaxx，exxgx．(1)求fx的单调区间；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）先对fx求导，分类讨论0a与0a两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；【详解】（1）因为ln0fxaxxx，所以11(0)axfxaxxx，当0a时，0,()fxfx在(0,)单调递减；当0a时，当10,xa时，0,()fxfx单调递减；当1,xa时，0,()fxfx单调递增；故当0a时，fx的单调递减区间为(0,)，无单调递增区间；当0a时，fx的单调递减区间为10,a，单调递增区间为1,a.5．已知函数()(1)lnfxmxmxm．(1)讨论()fx的单调性；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）根据题意，求导得fx，然后分1m，1m，1m分别讨论，即可得到结果；【详解】（1）(1)()1mmxmfxmxx，,()0x，①当10m，即1m时，1()0fxx，()fx在区间(0,)单调递增．②当10m，即1m时，令()0fx，得01mxm，令()0fx，得1mxm，所以()fx在区间0,1mm单调递增；在区间,1mm单调递减．③当10m，即1m时，若10m，则()0fx，()fx在区间(0,)单调递增．若0m，令0fx，得01mxm，令0fx，得1mxm，所以()fx在区间0,1mm单调递减；在区间,1mm单调递增．综上，1m时，()fx在区间0,1mm单调递增；在区间,1mm单调递减；10m时，()fx在区间(0,)单调递增0m时，()fx在区间0,1mm单调递减、在区间,1mm单调递增．2.导函数为指数型6．已知函数exfxaax．(1)讨论fx的单调性；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）先求导，再分类讨论0a与0a两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；【详解】（1）因为()exfxaax，定义域为R，所以e1xfxa，当0a时，由于e0x，则e0xa，故0e1xfxa恒成立，所以fx在R上单调递减；当0a时，令e10xfxa，解得lnxa，当lnxa时，0fx，则fx在,lna上单调递减；当lnxa时，()0fx¢，则fx在ln,a上单调递增；综上：当0a时，fx在R上单调递减；当0a时，fx在,lna上单调递减，fx在ln,a上单调递增.7．已知函数e2xfxax(1)求fx的单调区间；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）求出函数的导函数，分0a、0a两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；【详解】（1）e2xfxax定义域为R，且e2xfxa，当0a时，0fx，fx在R上单调递减．当0a时，令()0fx¢，得2lnxa，令0fx，得2lnxa，所以fx在2ln,a上单调递增，在2,lna上单调递减．综上，当0a时，fx的单调递减区间为R，无单调递增区间．当0a时，fx的单调递减区间为2,lna，单调递增区间为2ln,a．8．已知函数eeRxfxaxa.(1)讨论函数fx的单调性；【答案】(1)答案见解析.【分析】（1）求导以后对导数中的参数进行分类讨论，根据不同的分类判断函数的单调性；【详解】（1）函数eeRxfxaxa，xR，则()(e)e1xfxa，当e0a≥，即ea时，()0fx恒成立，即()fx在R上单调递增；当e0a，即ea时，令()0fx，解得ln(e)xa，x(,ln(e))aln(e)a(ln(e),)a()fx+0()fx↗极大值↘综上所述，当ea是，()fx在R上单调递增；当ea时，()fx在(,ln(e))a上单调递增，在(ln(e),)a上单调递减.9．已知函数1exfxaaxaR．(1)讨论fx的单调性；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）求出函数的导函数，在分10a、10a、10a三种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可得解；【详解】（1）函数1exfxaax定义域为R，1exfxaa，令1exgxfxaa，则1exgxa，当10a，即1a时0gx，1fx，所以fx在定义域R上单调递增；当10a，即1a时0gx恒成立，所以fx在定义域上单调递增，令0fx，则1e0xaa，即1e11xa，当1101a，即0a时解得ln1axa，所以当ln1axa时()0fx¢，当ln1axa时0fx，所以fx在ln,1aa上单调递增，在,ln1aa上单调递减，当1101a，即10a，此时0fx恒成立，所以fx在R上单调递增，当10a，即1a时0gx恒成立，所以fx在定义域上单调递减，令0fx，则1e0xaa，即1e101xa，解得ln1axa，所以当ln1axa时0fx，当ln1axa时()0fx¢，所以fx在ln,1aa上单调递减，在,ln1aa上单调递增，综上可得：当1a时fx在R上单调递增；当0a时fx在ln,1aa上单调递增，在,ln1aa上单调递减；当10a时fx在R上单调递增；当1a时fx在ln,1aa上单调递减，在,ln1aa上单调递增.10．已知函数2e2xfxaxbx.(1)若0a，讨论fx的单调性；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）求导后直接根据b的临界情况分类讨论即可；【详解】（1）当0a时，e2,exxfxbxfxb，①当0b时，()0fx¢对任意xR恒成立，所以fx的单调增区间是,，无减区间；②当0b时，令()0fx¢，得lnxb，令0fx，得lnxb，所以fx的单调增区间是ln,b，单调减区间是,lnb；综上，当0b时，fx的单调增区间是,，无减区间；当0b时，fx的单调增区间是ln,b，单调减区间是,lnb.3.导函数为对数型11．已知函数22ln1222fxxaxxxaxaR，求函数fx的单调区间．【答案】答案见解析.【分析】求出函数()fx的导数()fx，按0,01,1,1aaaa分类讨论求解()fx大于0、小于0的不等式作答.【详解】函数221()(2)l2n2fxxaxxxax的定义域为(0,)，求导得()2()lnfxxax，当0a时，0xa，由()0fx，得1x，由()0fx，得01x，因此函数()fx在(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当01a时，由()0fx，得1x或xa，当0xa或1x时，()0fx，当1ax时，()0fx，因此()fx在(0,)a，(1,)上单调递增，在(,1)a上单调递减；当1a时，()2(1)ln0fxxx恒成立，当且仅当1x时取等号，因此()fx在(0,)上单调递增；当1a时，当01x或xa时，()0fx，当1xa时，()0fx，因此()fx在(0,1)，(,)a上单调递增，在(1,)a上单调递减，所以当0a时，()fx的单调递增区间为(1,)，单调递减区间为(0,1)；当01a时，()fx的单调递增区间为(0,)a，(1,)，单调递减区间为(,1)a；当1a时，()fx的单调递增区间为(0,)，无单调递减区间；当1a时，()fx的单调递增区间为(0,1)，(,)a，单调递减区间为(1,)a.12．已知函数ln2fxaxxx，aR.讨论fx的单调性；【答案】答案见解析【分析】求导可得()ln2