专题突破卷03 抽象函数及其性质（解析版）

专题突破卷03抽象函数及其性质1.定义域问题1．已知函数21yfx的定义域是2,3，则ln3yfxx的定义域是（）A．3,3B．1,22C．1,3D．3,5【答案】D【分析】先求出yfx的定义域，再根据30x可得ln3yfxx的定义域.【详解】∵函数21yfx的定义域是2,3，即2,3x，则215,5x，∴函数yfx的定义域是5,5，对于函数ln3yfxx可得5530xx，解得35x，故ln3yfxx的定义域是3,5.故选：D.2．已知函数2fx的定义域为1,1，则函数21yfx的定义域为（）A．1,1B．3,1C．0,1D．1,2【答案】D【分析】求抽象函数的定义域，只需要牢记对应法则括号中的式子取值范围相同即可.【详解】设2xt，则2fxft，因为函数2fx的定义域为1,1，所以当11x时，2fx有意义，所以123x，故当且仅当13t时，函数ft有意义，所以函数ft的定义域为1,3，由函数21fx有意义可得1213x，所以12x，所以函数21fx的定义域为(1,2)，故选：D.3．（2023春·浙江·高二统考学业考试）已知函数()yfx的定义域是R，值域为[2,8]，则下列函数中值域也为[2,8]的是（）A．3()1yfxB．(31)yfxC．()yfxD．|(2)|yfx【答案】B【分析】根据函数的定义及定义域求解即可.【详解】根据函数的定义域为R，值域为[2,8]，可知，3()1yfx的值域为[5,25]，()yfx的值域为[8,2]，|(2)|yfx的值域为[0,8]，(31)yfx的值域为[2,8]，故选：B4．若函数yfx的定义域为1,1，则11fxyx的定义域为（）A．0,2B．2,0C．2,11,2D．2,11,0【答案】D【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案.【详解】因为yfx的定义域是1,1，所以11x，根据抽象函数定义域求法，在函数11fxyx中，11110xx，解得21x或10x.故选：D.5．已知函数fx的定义域为1,1则2123fxyxx的定义域为_________________【答案】2,1【分析】抽象函数定义域求解，1x需整体在1,1范围内，从而解出x的范围，同时注意需保证2230xx，最后求出交集即可得解.【详解】由已知，fx的定义域为1,1，所以对于2123fxyxxx需满足2111230xxx,解得2,1x故答案为：2,1.2.值域问题6．已知fx是定义在22,上的奇函数，且当0x时，fx的图象如图所示，那么fx的值域是（）A．3,3B．3,22,3C．3,22,3D．3,202,3【答案】D【分析】由图象得出函数yfx在区间0,2上的值域，并得出00f，利用奇函数的性质求出函数yfx在区间2,0上的值域，由此可得出函数yfx的值域.【详解】由图象可知，当02x时，23fx，由于函数yfx是定义在22,上的奇函数，则00f.当20x时，02x，则23fx，即23fx，解得32fx.即函数yfx在区间2,0上的值域为3,2.因此，函数yfx的值域为3,202,3.故选D.【点睛】本题考查奇函数值域的求解，解题时应充分利用奇函数的性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．（1）已知函数()fx的定义域为(1,2]，值域为[5,)，设()(21)gxfx，求()gx的定义域和值域；（2）已知()(21)1gxfx，且()gx的定义域为(1,2]，值域为[5,)，求函数()fx的定义域和值域.【答案】（1）()gx的定义域为31,2，值域为[5,).（2）()fx的定义域为(1,3]，值域为[6,).【解析】（1）根据1212x得到定义域，()gx和()fx值域相同得到答案.（2）根据12x得到1213x，得到定义域，再计算值域得到答案.【详解】（1）因为1212x，所以312x.值域为[5,).因此函数()gx的定义域为31,2，值域为[5,).（2）因为12x，所以224x，所以1213x.因为()5gx，所以()16gx.因为()(21)1gxfx，所以(21)()16fxgx()6fx.因此函数()fx的定义域为(1,3]，值域为[6,).【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.8．定义在R上的函数fx对一切实数x、y都满足0fx，且fxyfxfy，已知fx在0,上的值域为0,1，则fx在R上的值域是（）A．RB．0,1C．0,D．0,11,【答案】C【分析】令0xy，可得(0)(0)(0)(0)1ffff，再令yx，可得(0)()()1ffxfx，得到fx在,0上的值域为1,，即得解.【详解】因为定义在R上的函数fx对一切实数x、y都满足0fx，且fxyfxfy，令0xy，可得(0)(0)(0)(0)1ffff，再令yx，可得(0)()()1ffxfx，又fx在0,上的值域为0,1，因此fx在,0上的值域为1,则fx在R上的值域是0,.故选：C【点睛】本题考查了抽象函数的值域问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于较难题.9．设fx是定义域为R的奇函数，gx是定义域为R的偶函数，若函数fxgx的值域为1,3，则函数fxgx的值域为________.【答案】3,1【分析】设hxfxgx，根据奇偶性的定义得出fxgxhx，再根据不等式的性质即可得出函数yfxgx的值域.【详解】设hxfxgx，由于该函数的值域为1,3，则函数yhx的值域也为1,3，即13hx.函数yfx是定义域为R的奇函数，ygx是R上的偶函数，hxfxgxfxgx，则fxgxhx，由不等式的性质得31hx，因此，函数fxgx的值域为3,1.故答案为3,1.【点睛】本题考查了抽象函数的值域，同时也考查了函数奇偶性的应用以及不等式的性质，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．已知函数yfx，1,2,3x，*yN，对任意1,2n都有3ffnn，且fx是增函数，则用列举法表示函数fx的值域是______．【答案】2,3,6【分析】根据题意，令1fa，由条件求得而2a，即12.f而由3fa知，23f，于是得到3f的值，将其值域用列举法表示即可得答案．【详解】解：根据题意，令1fa，对任意*nN都有3ffnn，故有1a，否则，可得111fff，这与1313ff矛盾；从而1a，而由13ff，即得3fa．又由fx是增函数，则1fafa，即3a，于是得到13a．又*aN，从而2a，即12f．而由3fa知，23f．于是32326fff，则函数fx的值域2,3,6；故答案为2,3,6．根据题意，令1fa，由条件求得而2a，即12.f而由3fa知，23f，于是得到3f的值，将其值域用列举法表示即可得答案．【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的单调性的应用，求出2a，是解题的关键，属于中档题．11．设函数()fx对任意实数x，y都有()()()fxyfxfy，且0x时，()0fx，1(1)3f.（1）求证()fx是奇函数；（2）求()fx在区间[3,3]上的最大值和最小值.【答案】（1）详见解析；（2）最小值-1，最大值1.【分析】（1）利用赋值法,令0x,0y代入函数式,可求得(0)f,再令yx代入函数式,即可证明函数为奇函数.（2）利用定义法,可证明函数fx在R上单调递减.再根据fxyfxfy,用1f表示出最大值与最小值即可求解.【详解】（1）证明：令0x,0y代入函数式可得0000fff即00f令yx,代入函数式可得00fxfxf所以fxfx函数定义域为R,所以fx是奇函数（2）先证明函数的单调性,证明过程如下:任取12xx,则120xx由题意可知120fxx因为fxyfxfy所以121222fxfxfxxxfx1222fxxfxfx120fxx即12fxfx所以()fx在R上单调递减,且113f所以()fx在区间3,3上的min3fxf,max3fxfmin312fxff12311fffmax331fxff【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性、单调性的综合应用,注意在解决此类问题时,赋值法在求值中的应用,属于中档题.3.求解析式12．已知函数fx为定义在R上的函数满足以下两个条件：（1）对于任意的实数x，y恒有1fxyfxfy；（2）fx在R上单调递减.请写出满足条件的一个fx___________.【答案】1x（答案不唯一）【分析】由（1）（2）可设0fxaxba,由1fxyfxfy可求1b=-，从而可求解.【详解】由（1）（2）可设0fxaxba,由1fxyfxfy，可得121axybaxbaybaxyb，化简可得1b=-.故fx的解析式可为10fxaxa.取1a可得满足条件的一个1fxx.故答案为:1x.13．定义在R上的函数f(x)满足00f，并且对任意实数x，y都有22fxyfxyxy，求fx的解析式.【答案】2+=2fxxx【分析】对22fxyfxyxy进行赋值，解方程求得fx的解析式.【详解】对任意实数x，y，22fxyfxyxy，令yx，得022ffxxxx，即02ffxxx，又00f，所以222fxxxxx.14．定义在实数集上的函数fx的图象是一条连绵不断的曲线，xR，3266fxxfxxfx，且fx的最大值为1