专题突破卷01 函数值域问题（解析版）

专题突破卷01函数值域问题题型一求值域1.单调性法1．函数132xy的值域为______．【答案】0,11,【分析】由103x，结合指数函数的性质得到值域.【详解】因为103x，故1302xy且1312xy，所以132xy的值域为0,11,.故答案为：0,11,.2．21yxx的值域为__________【答案】1,)2【分析】通过换元法，求换元后的值域即可.【详解】设121(),2xx则2102x，221(1)(0)22y0，2(1)122y故函数21yxx的值域为1,)2.故答案为：1,)23．函数211fxx在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（）A．1125，B．2，5C．1，2D．1152，【答案】A【分析】先简单判断函数的单调性，进而求解结论．【详解】解：∵y＝x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y＞1，∴211fxx在区间[1，2]上单调递减，∴函数211fxx在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是f（1）211112，f（2）211215，故选：A．4．已知函数2()1xfxx的定义域为[0,)，则函数()fx的值域为（）A．[0,)B．[2,)C．10,2D．1,2【答案】C【分析】将函数变形为1()1fxxx，利用对勾函数的单调性求得1()txxx的值域，结合不等式的性质即可求解.【详解】2()1xfxx，定义域为[0,)，且(0)0f，取0,x，则化简得21()11xfxxxx令1()txxx，0,x，利用对勾函数的性质知，当0,1x时，函数单调递减；当1,x时，函数单调递增；min()(1)2txt，即()2tx，0,x时，10()2fx又(0)0f，所以，[0,)x时，函数()fx的值域为10,2故选：C2.配方法5．已知2xy，则yxy的最大值为__________.【答案】12/0.5【分析】根据给定条件，利用均值不等式求解作答.【详解】因为2xy，则22111()(22)2()2()222yxyyyyyy，当且仅当12y时取等号，所以当31,22xy时，yxy取得最大值12.故答案为：126．已知一元二次函数y＝x2－2x+2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说法正确的为（）A．最小值为2，最大值为5B．最小值为1，最大值为5C．最小值为1，无最大值D．无最值【答案】C【分析】结合对称轴，函数的单调性得出结论．【详解】由已知函数图象对称轴是1x，在(0,1]上，函数是减函数，在[1,3)上是增函数，因此1x时，函数取得最小值为1，但无最大值，故选：C．7．求函数21,423,fxxxx的值域.【答案】4,5.【分析】根据二次函数的图象与性质，求得函数fx的单调区间和最值，即可求解.【详解】因为函数223fxxx的对称轴为1x，所以函数fx在1,1单调递减，1,4单调递增，所以min(1)4fxf，max45fxf所以函数fx的值域为4,5.8．已知函数()fx的定义域为[1,9]，且当19x时，()2fxx，则22[()]()yfxfx的值域为（）A．[1,3]B．[1,9]C．[12,36]D．[12,204]【答案】C【分析】首先由()fx的定义域得出22[()]()yfxfx的定义域，再将()fx代入，由x的范围求出值域即可．【详解】由()fx的定义域为[1,9]，22[()]()yfxfx，则21919xx，即[1,3]x，所以2222(2)22462(1)4yxxxxx，因为[1,3]x，所以函数y在1,3x上单调递增，当1,12xy，当3,36xy，故函数y的值域为12,36.故选：C．9．求函数12002082xyxx的值域为_________.【答案】5,3【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域.【详解】令20(025)txt，则220xt，22220111(420)(2)38288tytttt容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为2t，025t，所以该函数在2t时取到最大值3，当25t时，函数取得最小值5，所以函数12002082xyxx值域为5,3y.故答案为：5,33.分离常数法10．求函数542xfxx的值域.【答案】,55,.【分析】化简1452fxx，结合函数的定义域，进而求得函数的值域.【详解】由函数542xfxx，可得其定义域为,22,，又由521454145222xxfxxxx，可得14552x所以函数fx的值域为,55,.11．函数2222xyx的值域是（）A．(1，1]B．(1,1)C．[1，1]D．(2,2)【答案】A【分析】把已知函数解析式变形，由222x≥+可得212x的范围，进一步求得函数值域.【详解】因为2222222422412xxyxxx，222x，210221x，则24220x，24121x所以函数2222xyx的值域是1,1故选：A.12．（多选）点11,Mxy在函数5yx的图象上，当[2,3]x，则1134yx可能等于（）A．18B．1C．17D．0【答案】AD【分析】由点在线上得115yx，则11136144yxx，1[2,3]x，由复合函数性质逐步讨论值域即可【详解】点11,Mxy在函数5yx的图象上，∴115yx，∴1111135361444yxxxx，∵由11166[2,3]4[6,7][,1]47xxx得1113611,0447yxx，111111,0,1,0,,0,0,0877777.故选：AD13．求函数2cos2cosxyx的值域．【答案】1,33【分析】根据常数分离得4(2cos)412cos2cosxyxx，由1cos1x，逐步得141332cosx即可解决.【详解】由题知，4(2cos)412cos2cosxyxx，因为1cos1x，所以12cos3x，所以11132cosx，所以44432cosx，所以141332cosx，所以133y，所以函数2cos2cosxyx的值域为1,33.4.复合函数14．函数111242xxy，2,1x的值域为______.【答案】1,10【分析】利用换元法，结合指数函数、二次函数的知识求得正确答案.【详解】令12xt，由于21x，所以11,422xt.则221221142ytttt，根据二次函数的性质可知，当1t时，min1y；当4t时，max10y，所以函数111242xxy，2,1x的值域为1,10.故答案为：1,1015．（1）函数243fxxx，2,4x的值域为______．（2）函数9439xxfx的值域为______．【答案】7,295,【分析】空①：根据题意结合二次函数的性质分析运算；空②：利用换元法，设3xt，结合二次函数分析运算.【详解】空①：因为243fxxx的对称轴为2x，所以函数fx在2,4上单调递增，当2x时，函数fx取到最小值27f；当4x时，函数fx取到最小值429f；所以函数243fxxx，2,4x的值域为7,29．空②：设30xt，因为294393439xxxxfx，换元得224925gtttt，0t，当2t时，函数gt取到最小值5gt，所以函数9439xxfx的值域为5,．故答案为：7,29；5,.16．已知函数33log2log4fxxx.(1)求fx的定义域；(2)求fx的最大值.【答案】(1)42xx(2)2【分析】（1）根据函数解析式列出相应的不等式组，可解得答案；（2）利用对数函数的单调性，结合二次函数的性质，求得答案.【详解】（1）要使函数有意义，则有2040xx，解得42x，所以fx的定义域为42xx.（2）223333log2log4log28log19fxxxxxx，因为42x，所以20199x，所以233log19log92x，即fx的最大值为2.17．已知函数222loglog2fxxx．(1)若0fx，求x的取值范围；(2)当184x时，求函数fx的值域．【答案】(1)1,42(2)9,44【分析】（1）设2logtx，将不等式转化为二次不等式，解不等式，结合对数函数的单调性及对数函数的定义域解不等式即可；（2）设2logtx，可得2,3t，该函数可转化为关于t的二次函数，根据二次函数的性质求值域.【详解】（1）设2logtx，0x，Rt，所以222loglog20fxxx，即220tt，解得12t，所以21log2x，解得142x，即1,42x；（2）由（1）得，当184x，2,3t，所以函数可转化为22ytt，2,3t，当12t时，y取最小值为94，当2t或3t时，y取最大值为4，即当2x时，fx取最小值为924f，当14x或8x时，fx取最大值为1844ff，即函数fx的值域为9,44.18．求函数12281()loglog2,,162fxxxx的值域.【答案】4,5【分析】根据对数运算化简函数，利用换元法，结合对数函数的性质以及二次函数的性质，可得答案.【详解】12222222288loglog2loglog2loglog8log2logfxxxxxxx22222log3log1log2log3xxxx，由1,162x，则2log1,4x，令2logtx，即1,4t，则222314fxgtttt，易知gt在1,4上的值域为4,5，故函数fx在1,162上的值域为4,5.5.导数法19．函数cos1sin1fxxxx在区间0,2π的最大值为（