9.5 三定问题及最值（精讲）（学生版）

9.5三定问题及最值（精讲）一．定点1.参数法解决定点问题的思路:①引入动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量(此处设为k);②利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系,得到关于k与x,y的等式,再研究变化量与参数何时没有关系,找到定点.其理论依据是:直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).2.特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.二．定值1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.三．定直线：是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题1.设点法:设点的轨迹,通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程;2.待定系数法:设出含参数的直线方程,利用待定系数法求解出系数;3.验证法:通过特殊点位置求出直线方程,对一般位置再进行验证.四．最值解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.2.利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.3.利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.4.利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.5.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.考点一定点【例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆2212:11xCyaa与椭圆2222:102312xyCbb的离心率相同，且椭圆2C的焦距是椭圆1C的焦距的3倍．(1)求实数a和b的值；(2)若梯形ABCD的顶点都在椭圆1C上，//ABCD，2CDAB，直线BC与直线AD相交于点P．且点P在椭圆2C上，证明直线CD恒过定点．【例1-2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆2222:10xyEabab的离心率是22，上、下顶点分别为A，B.圆22:2Oxy与x轴正半轴的交点为P，且1PAPB.(1)求E的方程；(2)直线l与圆O相切且与E相交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过定点.【一隅三反】1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，A，B分别是C的右、上顶点，且7AB，D是C上一点，2BFD△周长的最大值为8.(1)求C的方程；(2)C的弦DE过1F，直线AE，AD分别交直线4x于M，N两点，P是线段MN的中点，证明：以PD为直径的圆过定点.2．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知圆E：22116xy，点1,0F，G是圆E上任意一点，线段GF的垂直平分线和半径GE相交于H(1)求动点H的轨迹的方程；(2)经过点F和7,0T的圆与直线l：4x交于P，Q，已知点2,0A，且AP、AQ分别与交于M、N.试探究直线MN是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.考点二定值【例2】（2023·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆22122:1xyCab(0ab)的左右焦点分别为1F，2F，点A为1C上的一个动点(非左右顶点)，连接1AF并延长交1C于点B，且2ABF△的周长为8，12AFF△面积的最大值为2．(1)求椭圆1C的标准方程；(2)若椭圆2C的长轴端点为12,FF，且2C与1C的离心率相等，P为AB与2C异于1F的交点，直线2PF交1C于,MN两点，证明：||||ABMN为定值．【一隅三反】1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆1C：2221xya（1a）与椭圆2C：222112xyb（023b）的离心率相同，且椭圆2C的焦距是椭圆1C的焦距的3倍．(1)求实数a和b的值；(2)若梯形ABCD的顶点都在椭圆1C上，ABCD∥，2CDAB，直线BC与直线AD相交于点P．且点P在椭圆2C上，试探究梯形ABCD的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2．（2023·河南·校联考模拟预测）在椭圆C：22221xyab（0ab）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：2222xyab上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过()21,2P，61(,)22Q.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的蒙日圆上一点M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若OMk，ONk存在，证明：OMONkk为定值.考点三定直线【例3】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，右焦点为3,0F，A，B分别为椭圆C的左、右顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点1,0D作斜率不为0的直线l，直线l与椭圆C交于P，Q两点，记直线AP的斜率为1k，直线BQ的斜率为2k，求证：12kk为定值；(3)在（2）的条件下，直线AP与直线BQ交于点M，求证：点M在定直线上.【一隅三反】1．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线222:104xyEbb的左、右焦点分别为1F、2F，从2F发出的光线经过图2中的A、B两点反射后，分别经过点C和D，且3tan4CAB，ABBD.(1)求双曲线E的方程；(2)设1A、2A为双曲线E实轴的左、右顶点，若过4,0P的直线l与双曲线C交于M、N两点，试探究直线1AM与直线2AN的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．2．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知双曲线C：222210,0yxabab，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为6,4.(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，PMPN，MQQN均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.考点四最值【例4-1】（2023·江西景德镇·统考三模）设椭圆2222:10xyCabab的左､右顶点分别为,AB，且焦距为2.点P在椭圆上且异于,AB两点，若直线PA与PB的斜率之积为34.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点1,0F作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于,MN两点，直线m的方程为：2xa，过点M作ME垂直于直线m，交m于点E.求OEN面积的最大值.【一隅三反】1．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知点(3,1)A在椭圆2222:18xyCaa上，直线l交C于M，N两点，直线AM，AN的斜率之和为0．(1)求直线l的斜率；(2)求OMN的面积的最大值（O为坐标原点）．2．（2023·陕西宝鸡·校考一模）设抛物线2:2(0)Cypxp，直线210xy与C交于A，B两点，且||415AB.(1)求p；(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，0MFNF，求MNF面积的最小值.