9.2 椭圆（精讲）（学生版）

9.2椭圆（精讲）一．椭圆的定义1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2.焦点：两个定点F1，F2.3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4.半焦距：焦距的一半．5.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.二．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝ca(0＜e＜1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2一.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则1.b≤|OP|≤a；2.a－c≤|PF|≤a＋c.二.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)中：(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.三．标准方程1.利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.2.椭圆的标准方程的两个应用①方程x2a2＋y2b2＝1与x2a2＋y2b2＝λ(λ＞0)有相同的离心率.②与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为x2a2＋k＋y2b2＋k＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.四．椭圆离心率建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：1.直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解．2.由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝1－b2a2求解．3.构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系式，从而求得e.五．弦长(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|(k≠0)．六．直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数问题；(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．考点一椭圆的定义及应用【例1-1】（2023春·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆22122:1(1),,xCyaFFa为两个焦点，P为椭圆C上一点，若12PFF△的周长为4，则a（）A．2B．3C．32D．54【例1-2】（2023·河南开封·统考三模）已知点P是椭圆221259xy上一点，椭圆的左、右焦点分别为1F、2F，且121cos3FPF，则12PFF△的面积为（）A．6B．12C．922D．22【一隅三反】1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点A，B是椭圆22:194xyC上关于原点对称的两点，1F，2F分别是椭圆C的左、右焦点，若12AF，则1BF（）A．1B．2C．4D．52．（2024秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆22:1(0)43xyEab的两焦点分别为12FF，，A是椭圆E上一点，当12FAF的面积取得最大值时，12FAF（）A．6B．2C．3D．233．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22196xy，12,FF为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，123cos5FPF，则||PO（）A．25B．302C．35D．352考点二椭圆的标准方程【例2】（2023秋·课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在y轴上，且经过两个点0,2和1,0；(2)经过点3,45P和点Q4,35.(3)两个焦点的坐标分别为4,0和4,0，且椭圆经过点5,0；(4)焦点在y轴上，且经过两个点0,2和1,0；(5)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点3,2M．【一隅三反】1．（2023秋·课时练习）若方程221259xymm表示椭圆，则实数m的取值范围是（）A．9,25B．9,88,25C．8,25D．8,2（2023秋·高二课时练习）以下方程表示椭圆的是（）A．2212525xyB．22232xyC．22231xyD．222202xynn3．（2023秋·广东）已知(0,4)是椭圆2231kxky的一个焦点，则实数k（）A．6B．16C．24D．1244．（2023秋·高二课时练习）F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos3OFA，则椭圆的标准方程为（）A．2213620xyB．22195xyC．222036xy1或2213620xyD．2295xy1或22159xy考点三离心率【例3-1】（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知椭圆221104xytt的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（）A．55B．255C．12D．33【例3-2】（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C的左右焦点分别为1F，2F，P，Q为C上两点，2223PFFQ，若12PFPF，则C的离心率为（）A．35B．45C．135D．175【一隅三反】1．（2022秋·广东惠州·高三统考阶段练习）若焦点在x轴上的椭圆2214xym的离心率为12，则m（）A．1B．22C．3D．232．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．20,2B．10,2C．0,1D．2,123．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线:34110lxy与椭圆222:14xyCm交于,AB两点，若点1,2P恰为弦AB的中点，则椭圆C的离心率是（）A．33B．22C．32D．63考点四直线与椭圆的位置关系【例4-1】．（2023秋·课时练习）若直线2yxm与椭圆22142xy有唯一公共点，则实数m．【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）椭圆223144xy上点P(1,1)处的切线方程是．【一隅三反】1．（2023春·上海闵行）直线ya与椭圆22134xy恒有两个不同的交点，则a的取值范围是．2．（2022秋·江西南昌·）如果直线l：3ykx与椭圆C：2221(1)xyaa总有公共点，则实数a的取值范围是.3．（2023·全国·专题练习）直线:240lxy＋－＝与椭圆2211xymm(m0)有且仅有一个公共点P，则m＝，点P的坐标是.考点五弦长与中点弦的问题【例5-1】（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆22:1164xyC，左右焦点分别为1F，2F，直线l与椭圆交于A，B两点，弦AB被点33,2平分．(1)求直线l的方程；(2)求1FAB的面积．【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：22143xy，过点1,1P的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（）A．43B．34C．34D．43【一隅三反】1．（2023秋·河南郑州·高三校考开学考试）已知椭圆C：222210xyabab的一个焦点为3,0F，且离心率为33．(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为60的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求AOB的面积．2．（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为10,52F的椭圆被直线32yx截得弦的中点的横坐标为12，则椭圆的方程为．考点六直线与椭圆的综合运用【例6】（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为10,52F的椭圆被直线32yx截得弦的中点的横坐标为12，则椭圆的方程为．【一隅三反】1．（2024·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）椭圆2222:10xyCabab的离心率12e，过点0,3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点1,02且斜率不为0的直线l与椭圆交于,MN两点，椭圆的左顶点为A，求直线AM与直线AN的斜率之积.2．（2023·海南海口·校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知定点(1,0)F，定直线:4lx，动点P在l上的射影为Q，且满足||2||PQPF.(1)记点P的运动轨迹为E，求E的方程；(2)过点F作斜率不为0的直线与E交于,MN两点，l与x轴的交点为H，记直线MH和直线NH的斜率分别为12,kk，求证：120kk.