9.4 抛物线（精讲）（学生版）

9.4抛物线（精讲）一．抛物线的概念(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下一．抛物线的定义及标准方程1.由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可相互转化．2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．二．与抛物线有关的最值问题1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．2.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．三．常用的结论1．与焦点弦有关的常用结论如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有(1)x1·x2＝p24.(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α是直线AB的倾斜角).(4)1|AF|＋1|BF|＝2p为定值(F是抛物线的焦点).（5）以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切．（6）．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)．考点一抛物线的定义及标准方程【例1-1】（2023秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，点M在C上．若M到直线=1x的距离为3，则MF（）A．4B．5C．6D．7【例1-2】（2023·新疆·统考三模）已知抛物线22(0)ypxp上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．2yxB．22yxC．24yxD．28yx【一隅三反】1．（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）已知点0,2Px在抛物线C：24yx上，则P到C的准线的距离为（）A．4B．3C．2D．12．（2023秋·山东青岛·高三统考开学考试）设抛物线C：22xpy的焦点为F，,4Mx在C上，5MF，则C的方程为（）A．24xyB．24xyC．22xyD．22xy3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知点2,0F是抛物线C：220ypxp的焦点，点M在抛物线C上，点0,4P，且90MPF，则点M到y轴的距离为（）A．6B．8C．10D．12考点二抛物线有关的最值问题【例2-1】（2023·四川成都·校联考二模）已知点(0,4)F是抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点，点(2,3)P，且点M为抛物线C上任意一点，则||||MFMP的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【例2-2】（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）抛物线C的顶点为原点，焦点为(2,0)F，则点(5,0)B到抛物线C上动点M的距离最小值为（）A．32B．26C．5D．52【一隅三反】1．（2023·全国·专题练习）已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，点P在C上，若点6,3Q，则PQF△周长的最小值为（）．A．13B．12C．10D．82．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知抛物线2:4Exy，圆22:31Cxy，P为E上一点，Q为C上一点，则PQ的最小值为（）A．2B．221C．22D．33．（2023春·四川南充）已知P是抛物线24yx上的一个动点，则点P到直线1:34120lxy和2:20lx的距离之和的最小值是（）A．3B．4C．225D．64．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知F为抛物线2:4Cyx的焦点，直线:(1)lykx与C交于A，B两点，则4||||AFBF的最小值是（）A．10B．9C．8D．5考点三直线与抛物线的位置关系【例3-1】（2023秋·课时练习）（多选）已知直线l过定点0,1P，则与抛物线22yx有且只有一个公共点的直线l的方程为（）A．1yB．220xy-+=C．0xD．12x【一隅三反】1．（2023秋·课时练习）已知直线l与抛物线220xpyp只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切2．（2023秋·课时练习）（多选）设抛物线28yx的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（）A．2-B．-1C．1D．23．（2023秋课时练习）过点0,1与抛物线2yx只有一个公共点的直线有条．4．（2023秋云南）已知抛物线方程为28yx，若过点(20),O的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是.考点四弦长【例4-1】（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为1,0F，过F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点横坐标为2，则线段AB的长为【例4-2】（2023秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）（多选）已知抛物线2:2Cypx的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线C交于A、B两点，则下列说法正确的是（）A．若(1,0)F，则1:2lxB．若(1,0)F，则弦AB最短长度为4C．存在以AB为直径的圆与l相交D．若直线:32pAByx，且A点在x轴的上方，则3AFFB【一隅三反】1．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F，作斜率为22的直线l与抛物线C交于,AB两点，若AFFB，则（）A．12B．13或3C．12或2D．32．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知A，B是抛物线C：22yx上两动点，F为抛物线C的焦点，则（）A．直线AB过焦点F时，AB最小值为4B．直线AB过焦点F且倾斜角为60时，83ABC．若AB中点M的横坐标为2，则AB最大值为5D．112AFBF3．（2023·江西九江·统考一模）已知点,AB分别是抛物线2:4Cyx和圆22:2440Exyxy上的动点，点A到直线:2lx的距离为d，则ABd的最小值为．考点五直线与抛物线的综合问题【例5】（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线21:0Cypxp的焦点为1F，抛物线22:2Cypx的焦点为2F，且1212FF．(1)求p的值；(2)若直线l与1C交于M，N两点，与2C交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且2MPNQ，证明：MNPQ为定值．【一隅三反】1．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）直角坐标系xOy中，已知动点P到定点10,4F的距离比动点P到定直线54y的距离小1，记动点P的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)点,ST是曲线C上位于直线14y的上方的点，过点,ST作曲线C的切线交于点Q，若FSFT，证明：cosSQT为定值.2．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点为F，点02,Ay在C上，2AF．(1)求p；(2)过点(0,2)P作直线l，l与C交于M，N两点，M关于y轴的对称点为1M．判断直线1MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理出．3．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线2:2(0)Eypxp的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且8AB．(1)求抛物线E的方程；(2)设1,Pm为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为PMk和PNk．求证：PMPNkk为定值．