8.5 分布列与其他知识的综合运用（精讲）（学生版）

8.5分布列与其他知识的综合运用（精讲）考点一利用均值做决策【例1】（2023·河南·校联考模拟预测）某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：日销售量/十盒78910天数812164假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？【一隅三反】1．（2023·重庆·统考模拟预测）某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有34是“年轻人”.(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，依据小概率值0.05的2独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不是不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15；方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为12，310，15.针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.参考数据：独立性检验临界值表0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中22nadbcabcdacbd，nabcd．2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分.对而不全得2分，选项中有错误得0分.设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为(01)pp，有3个选项正确的概率为1p，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）.在一次模拟考试中：(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为112，求p；(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若512p，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？考点二概率与函数导数的综合【例2】（2023·海南·海南中学校考模拟预测）根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：X1230Papa1ap2(1)ap（其中0,01ap）每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为12，且相互独立，事件iA表示一个家庭有i个孩子(0,1,2,3)i，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.(1)若12p，求a，并根据全概率公式1()niiiPBPBAPA∣求PB；(2)是否存在p值，使得53EX，请说明理由.【一隅三反】1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年．某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：A区B区C区D区外来务工人数/x万3456就地过年人数/y万2.5344.5(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程ˆˆˆyabx和A区的残差(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴．①若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额；②若A区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为,21pp，其中112p，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求p的取值范围．参考公式：相关系数1222211niiinniiiixynxyrxnxyny，回归方程ˆˆyabx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆˆˆ,niiiniixynxybaybxxnx．2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为1p，2p，且1243pp，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？3．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知甲同学计划从某天开始的连续四天内，每天从座位充足的,AB两间教室中选择一间用于自习.若其每天的选择均相互独立，且任意一天选择A教室的概率为1101pp，任意连续两天选择相同教室的概率为2p.(1)求2p的取值范围；(2)若1235pp，记甲在该四天内连续选择相同教室自习的天数最大值为随机变量X（若甲任意连续两天都不在相同教室自习，则1X），求X的分布列和数学期望.考点三概率与数列的结合【例3-1】（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；(3)若0,1,,6iPi表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则060,1PP.证明：10,1,2,,5iiPPi为等比数列.【例3-2】（2023·福建漳州·统考模拟预测）某科研单位研制出某型号科考飞艇，一艘该型号飞艇最多只能执行n次,2nnN科考任务，一艘该型号飞艇第1次执行科考任务，能成功返航的概率为01pp，若第k次1,2,,1kn执行科考任务能成功返航，则执行第1k次科考任务且能成功返航的概率也为p，否则此飞艇结束科考任务.一艘该型号飞艇每次执行科考任务，若能成功返航，则可获得价值为X万元的科考数据，且“X0”的概率为0.8，“200X”的概率为0.2；若不能成功返航，则此次科考任务不能获得任何科考数据.记一艘该型号飞艇共可获得的科考数据的总价值为Y万元.(1)若0.5p，2n，求Y的分布列；(2)求EY（用n和p表示）.【一隅三反】1．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为34，23．(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望EX；(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记nP表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，123(4)nnnnPaPbPcPn，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）国学小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为23、答对第二题的概率为12，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第1,2,3,,1iin号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第1i+号同学继继续比赛；③若第1,2,3,,1iin号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第1i+号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束．(1)令随机变量nX表示n名同学在第nX轮比赛结束，当3n时，求随机变量3X的分布列；(2)若把比赛规则③改为：若第1,2,3,,1iin号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第1i+号同学重新从第一题开始作答．令随机变量nY表示n名挑战者在第nY轮比赛结束．①求随机变量*N,2nYnn的分布列；②证明：nEY单调递增，且小于3．3．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有23的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知121,0pp．①试证明：13np为等比数列；②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．考点四概率证明【例4】（2023·浙江·校联考模拟预测）某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：上下午体育锻炼项目的情况（上午，下午）（篮球，篮球）（篮球，乒乓球）（乒乓球，篮球）（乒乓球，乒乓球）甲20天15天5天10天乙10天10天5天25天假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.(1)分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；(2)记X为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求X的分布列和数学期望()EX；(3)假设A表示事件“室外温度低于10度”，B表示事件“某学生去打乒乓球”，()0PA，一般