8.3 分布列（精讲）（学生版）

8.3分布列（精讲）一.相互独立事件1.事件相互独立：在一个随机试验中两个事件A，B是否发生互不影响，则称事件A与事件B相互独立，当对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立；2.独立事件的概率公式①若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）；②若事件A1，A2，…，An相互独立，则P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.二.条件概率1.概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0，我们称P（B｜A）＝𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率；2.两个公式及三个性质①利用古典概型：P（B｜A）＝𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴)；②利用概率的乘法公式：P（AB）＝P（A）P（B｜A）；三.全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝∑𝑖=1𝑛P（Ai）P（B｜Ai），我们称上面的公式为全概率公式.四.两点分布（或0－1分布）如果随机变量X的分布列为X01P1－pp其中0＜p＜1，则称离散型随机变量X服从两点分布或0－1分布.其中p＝P（X＝1）称为成功概率.五.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝C𝑀𝑘C𝑁-𝑀𝑛-𝑘C𝑁𝑛，k＝m，m＋1，m＋2，…，r其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.六.伯努利试验与二项分布1.伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验；2.二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝C𝑛𝑘pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p）.对于服从二项分布的随机变量X，E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.七.正态分布若随机变量X服从正态分布，记为X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D（X）＝σ2，其正态密度函数为f（x）＝1𝜎√2π𝑒-(𝑥-𝜇)22𝜎2.当μ＝0，σ＝1时，随机变量X服从标准正态分布.（1）正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1𝜎√2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.（2）正态分布的三个常用数据①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827；②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545；③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.八.离散型随机变量的分布列1.对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量叫做离散型随机变量；2.一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，2，…，n）为X的概率分布列，简称分布列.Xx1x2…xnPp1p2…pn离散型随机变量的分布列也可以用如上表格表示.且具有如下性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.3.均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝∑𝑖=1𝑛xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.4.方差设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn则（xi－E（X））2描述了xi（i＝1，2，…，n）相对于均值E（X）的偏离程度.而D（X）＝∑𝑖=1𝑛（xi－E（X））2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度.称D（X）为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称√D(X)为随机变量X的标准差，记为σ（X）.一．超几何分布概率模型的特征（1）实际问题所描述的事件只包含两个结果（发生与不发生），每进行一次上述抽取都不是原来的重复（再次抽取时，都与上次条件发生了变化）；（2）每次抽取中同一事件发生的概率都不同；（3）实际问题中随机变量为抽到某类个体的个数；（4）该问题属于不放回抽取问题.二．二项分布概率模型的特征（1）在每一次试验中，试验结果只有两个，即发生与不发生；（2）各次试验中的事件是相互独立的；（3）在每一次试验中，事件发生的概率与不发生的概率都保持不变.三．条件概率（1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B｜A）＝𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)；（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点个数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的样本点个数，即n（AB），得P（B｜A）＝𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴).四．全概率公式求概率（1）按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）；（2）求P（Ai）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P（Ai）P（B｜Ai）；（3）代入全概率公式计算.五．数学期望的性质1.若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）.2.若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.3.若X1，X2相互独立，则E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）.4.若随机变量X服从参数为n，M，N的超几何分布，则E（X）＝𝑛𝑀𝑁，D（X）＝𝑛𝑀𝑁(1−𝑀𝑁)·𝑁-𝑛𝑁-1.考点一分布列及其性质【例1-1】（2023春·山东滨州）已知随机变量X的分布列如下所示，则EX（）X024P15m13mA．2B．3C．4D．5【例1-2】（2023秋·河南）已知样本数据131x，231x，331x，431x，531x，631x的平均数为16，方差为9，则另一组数据1x，2x，3x，4x，5x，6x，12的方差为（）．A．467B．477C．487D．7【一隅三反】1．（2023春·云南保山）设X是一个离散型随机变量，其分布列为X234P1212q22q则q等于（）A．1B．212C．12D．2122．（2022春·河南南阳）设随机变量X的分布列如下表所示，则24PX（）X01234Pa0.360.220.1a0.1A．0.14B．0.24C．0.34D．0.443．（2023吉林）某射手射击所得环数的分布列为78910Px0.10.3y已知的均值8.9E，则,xy的值分别为()A．0.2,0.3B．0.3,0.4C．0.2,0.4D．0.4,0.24．（2023春·黑龙江七台河）随机变量X的分布列如下表，其中2bac，且12cab，X246Pabc则(2)PX==（）A．47B．45C．14D．221考点二相互独立事件【例2-1】（2023春·陕西渭南·高二校考期中）在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是（）A．0.12B．0.88C．0.28D．0.42【例2-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨）已知事件,AB，且0.2PA，0.8PB，则下列说法正确的是（）A．若AB，则0.8PAB，0.6PABB．若A与B互斥，则0.8PAB，0.6PABC．若A与B相互独立，则1PAB，0PABD．若A与B相互独立，则0.84PAB，0.16PAB【例2-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，34，12，乙选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为23，23，13，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求乙选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求至多有一名选手通过全部考核的概率．【一隅三反】1（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）（多选）红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色，已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”；B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（）A．事件A与事件C是独立事件B．事件A与事件B是互斥事件C．0PCAD．PBPC2．（2023秋·吉林长春）甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为232,,345，那么三人中恰有两人合格的概率是．3．（2023秋·湖北）插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物自然美的一种造型艺术，与建筑、盆景等艺术形式相似，是最优美的空间造型艺术之一。为了通过插花艺术激发学生对美的追求，某校举办了以“魅力校园、花香溢校园”为主题的校园插花比赛。比赛按照百分制的评分标准进行评分，评委由10名专业教师、10名非专业教师以及20名学生会代表组成，各参赛小组的最后得分为评委所打分数的平均分.比赛结束后，得到甲组插花作品所得分数的频率分布直方图和乙组插花作品所得分数的频数分布表，如下所示：分数区间频数72,76176,80580,841284,881488,92492,96396,1001定义评委对插花作品的“观赏值”如下所示：分数区间72,8484,9292,100观赏值123(1)估计甲组插花作品所得分数的中位数（结果保留两位小数）；(2)若该校拟从甲、乙两组插花作品中选出1个用于展览，从这两组插花作品的最后得分来看该校会选哪一组，请说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)从40名评委中随机抽取1人进行调查，试估计其对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏值”高的概率.考点三条件概率【例3-1】（2023春·广东东莞·）甲、乙两位游客慕名来到江城武汉旅游，准备分别从黄鹤楼、东湖、昙华林和欢乐谷4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率PBA（）A．67B．78C．37D．716【一隅三反】1．（2023湖南）已知3()13PAB，3()7PA，则()PBA∣（）A．991B．713C．913D．7912．（2023·河南开封·统考三模）用1,2,3,4,5五个数字排成一个无重复数字的五位数，设事件A{数字1在2的左边}，事件B{1与2相邻}，则PBA等于（）A．320B．15C．14D．253．（2023·四川成都·校联考二模）一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3个球中至少有1个黑球”，则(|)PAB（）A．59B．49C．1725D．825