8.2 二项式定理（精讲）（学生版）

8.2二项式定理（精讲）一．二项式定理1.二项式定理：（a＋b）n＝C𝑛0an＋C𝑛1an－1b1＋…＋C𝑛𝑘an－kbk＋…＋C𝑛𝑛bn（n∈N*）①项数为n＋1②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2.通项公式：Tk＋1＝C𝑛𝑘an－kbk=g（r）·xh（r）它表示第k＋1项①h（r）＝0⇔Tr＋1是常数项；②h（r）是非负整数⇔Tr＋1是整式项；③h（r）是负整数⇔Tr＋1是分式项；④h（r）是整数⇔Tr＋1是有理项.3.二项式系数：二项展开式中各项的系数为C𝑛0，C𝑛1，…，C𝑛𝑛.二.二项式系数的性质knknn012nn02413n1Cn12n12nnCCCC2CCCCC2nnnnnnnnnkk.........对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，C当时，二项式系数是递增当时，二项式系数是递减性质增加性当为偶数时，中间一项的二项式系数最大当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大二项式系数和一．形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤①写出二项展开式的通项公式Tk＋1＝C𝑛𝑘an－kbk，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；③把k代入通项公式中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．二．求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤①根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；②根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．三.求二项式系数最大项1.如果n是偶数，那么中间一项(第𝑛2+1项)的二项式系数最大；2，如果n是奇数，那么中间两项(第𝑛+12项与第𝑛+12+1项)的二项式系数相等且最大.四.求展开式系数最大项求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用{𝐴𝑘≥𝐴𝑘-1,𝐴𝑘≥𝐴𝑘+1,解出k.五．求三项展开式中特定项（系数）的方法方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解方法二：两次利用二项展开式的通项求解方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个因式中取因式中的量六．二项式定理应用1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．考点一二项式定理的展开式【例1】（2023广西柳州）化简2341632248xxxx（）A．4xB．42xC．42xD．412x【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）设A＝37＋27C·35＋47C·33＋67C·3，B＝17C·36＋37C·34＋57C·32＋1，则A－B的值为()A．128B．129C．47D．02．（2023·重庆九龙坡）1231261823nnnnnnCCCCA．2123nB．2413nC．123nD．2313n考点二二项式指定项的系数【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）在二项式82xx的展开式中，含x的项的二项式系数为（）A．28B．56C．70D．112【例2-2】（2022·甘肃兰州·统考一模）6122xx的展开式的常数项是（）A．40B．-40C．20D．-20【例2-3】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）6211(2)2xx展开式中2x的系数为（）A．270B．240C．210D．180【例2-4】（2023·四川绵阳·统考二模）32nx展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（）A．8B．7C．6D．5【一隅三反】1．（2023·北京·高三专题练习）在二项式52xx的展开式中，含3x项的二项式系数为（）A．5B．5C．10D．102．（2023·河南驻马店·统考二模）51(1)2xx的展开式中的常数项是（）A．－112B．－48C．48D．1123．（2023·全国·高三对口高考）在12nxx的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A．7B．7C．358D．358考点三三项式指定项系数【例3】（2023·全国·高三专题练习）52212xx的展开式中常数项是（）A．-252B．-220C．220D．252【一隅三反】1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）52xxy的展开式中52xy的系数为（）A．10B．10C．30D．302．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）6(23)xyz的展开式中23xyz的系数为（用数字作答）．3．（2023秋·福建三明·高三统考期末）512xx展开式中常数项是.（答案用数字作答）4．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知二项式51axy的展开式中含3xy的项的系数为40，则a．考点四二项式系数性质【例4】（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）612x的展开式中二项式系数最大的项是（）A．160B．240C．3160xD．4240x【一隅三反】1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）naxx的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是252，则下列说法正确的是（）A．10nB．各项的二项式系数之和为1024C．1aD．各项的系数之和为10242．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知(12)nx的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知2nxx的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则展开式中的常数项为．考法五系数最大项和系数和【例5-1】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）82x的二项展开式中系数最大的项为.【例5-2】．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）已知函数626012612fxxaaxaxax（iaR，0,1,2,3,,6i）的定义域为R，则（）A．01261aaaaB．135364aaaC．123623612aaaaD．5f被8整除余数为1【一隅三反】1．（2023·全国·模拟预测）81xy的展开式中系数最大的项为（）A．70B．56C．3556xy或5356xyD．4470xy2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知13nx的展开式中前三项的二项式系数和为79，则展开式中系数最大的项为第（）A．7项B．8项C．9项D．10项3．（2023春·山东青岛）（多选）已知9290129(12)xaaxaxax，则（）A．2144aB．9012893aaaaaC．81379024682aaaaaaaaaD．(0,1,2,,8,9)iai的最大值为6a4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若102100121021111xaaxaxax，xR，则（）A．01aB．1012103aaaC．2180aD．9123102310103aaaa考法六二项式定理的应用【例6-1】（2023春·课时练习）设n为奇数，那么11221111111111nnnnnnnCCC除以13的余数是（）A．3B．2C．10D．11【例6-2】（2023北京）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（）A．星期三B．星期四C．星期五D．星期六【例6-3】（2023·全国·高三专题练习）6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）81.02（小数点后保留三位小数）．2．（2023·辽宁丹东·统考一模）282除以7所得余数为．3．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）12233445555555C0.998C0.998C0.998C0.998C0.998（精确到0.01）