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8.1计数原理及排列组合（精讲）一.两个计数原理1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.二.排列、组合1.定义排列的定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2.排列数、组合数的公式、性质排列数组合数公式𝐴nm＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1）＝𝑛!(𝑛-𝑚)!𝐶nm＝𝐴𝑛𝑚𝐴𝑚𝑚＝𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)…(𝑛-𝑚+1)m!性质𝐴nn＝n！，0！＝1𝐶n0＝1，𝐶nm＝𝐶nn−m，𝐶nm＋𝐶nm−1＝𝐶n+1m三．常用方法1.特殊优先2.相邻捆绑法3.不相邻插空法4.定序倍缩法5.对于分堆与分配问题应注意三点①处理分配问题要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的.③分堆时要注意是否均匀.6.相同元素隔板法一．计数原理的解题思路二．涂色问题常用的方法方法一：按区域的不同，以区域为主的分步计数，用分步乘法计数原理方法二：按颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析三．组合问题1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；2.“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.四．圆形排列问题n个不同的事物围成一个圆时总的围成方法有(n－1)！种．解决圆形排列问题时最关键的就是插空思想，即将某个部分插入另外几个部分形成的空隙中考法一排列【例1】（2023广东湛江）有7名学生，其中3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排法种数．(1)选5人排成一排；(2)全体站成一排，男生互不相邻；(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；(5)男生顺序已定，女生顺序不定；(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．【一隅三反】1．（2023云南）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数．(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；(3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起；(4)全体排成一行，男、女各不相邻；(5)全体排成一行，3名男生互不相邻；(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．2．（2023春·河南郑州）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数.(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排一排，女生必须站在一起；(5)全体排一排，男生互不相邻；(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；(7)全体排一排，甲必须排在乙的前面；(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.3．（2023·广东佛山）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．(1)选5名同学排成一排；(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；(5)全体站成一排，男生排在一起；(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．考法二组合【例2】（2023秋·课时练习）高二（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．(1)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？(2)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？(3)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？(4)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？【一隅三反】1．（2023春·江苏淮安）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．(1)这9个点，可确定多少条不同的直线？(2)以这9个点中的3个点为顶点，可以确定多少个三角形？(3)以这9个点中的4个点为顶点，可以确定多少个四边形？2．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）某个学习小组有4个男生，6个女生．(1)从中任选出4个学生，要求男生的个数不比女生少的选法有多少种？（用数字作答）(2)现安排4个男生参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪三项工作可以安排，（i）若每人都安排一项工作，则不同的选法有多少种？（用数字作答）（ii）若每项工作至少有1人参加，则不同的选法有多少种？（用数字作答）3．（2023春·北京通州）从4名女生3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛．(1)选出3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种？(2)选出3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种？(3)选出3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种？考法三排列组合综合运用【例3-1】（2023·青海西宁）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【例3-2】（2023·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考三模）如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为（）A．1023B．1223C．2969D．5069【例3-3】（2023·山西·校联考模拟预测）将一个四棱锥PABCD的每个顶点涂上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则共使用4种颜色的概率为（）A．27B．37C．47D．25【例3-4】（2023春·江苏无锡）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．(1)在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？(2)在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?(3)在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?(4)在组成的五位数中，若从小到大排列，30421排第几个?【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（）A．组成的三位数的个数为60B．在组成的三位数中，奇数的个数为30C．在组成的三位数中，偶数的个数为30D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为202．（2023浙江）如图，用5种不同的颜色给图中的A、B、C、D、E、F6个不同的点涂色，要求每个点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有种.3．（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．4．（2023春·湖北）（1）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（2）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（3）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（4）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（注：要写出算式，结果用数字表示）