7.4 空间距离（精讲）（学生版）

7.4空间距离（精讲）一．点到线的距离1.概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；设𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗＝ar，直线l的一个单位方向向量为ur，则向量𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗在直线l上的投影向量𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗＝uau()rrr，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝√|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|2-|𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|2＝22aau()rrr二．两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.三．点到平面的距离：已知平面α的法向量为nr，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则nr是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗在直线l上的投影向量𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗的长度.因此APAPnPQAPnnnnnuurrruurruurgrrr四．直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；五．两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.一．求点面距常见方法方法一：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离方法二：等体积法方法三：向量法二.向量法求两异面直线的距离分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为ar，与这两条异面直线都垂直的法向量为nr，则两条异面直线间的距离就是ar在nr方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式andnrrr求解.考点一点线距【例1-1】（2023春·江西南昌）如图，ABCDEFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足112233APABADAE，则P到AB的距离为（）A．34B．35C．53D．53【例1-2】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线l的方程为1xyz，空间一点(1,1,1)P，则点P到直线l的距离为（）A．22B．1C．33D．63【一隅三反】1．（2023春·广东茂名·高三校考阶段练习）菱形ABCD的边长为4，60A，E为AB的中点（如图1），将ADEV沿直线DE翻折至ADE处（如图2），连接AB，AC，若四棱锥'AEBCD的体积为43，点F为AD的中点，则F到直线BC的距离为（）A．312B．232C．314D．2342．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体1111ABCDABCD中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且ABAD，1160AABAAD，E为1CC的中点，则点E到直线1AC的距离为（）A．510aB．55aC．54aD．53a考点二线线距【例2】（2023·全国·高三专题练习）长方体1111ABCDABCD中，12ABAA，1AD，E为1CC的中点，则异面直线1BC与AE之间的距离是（）A．13B．2121C．23D．22121【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）在长方体1111ABCDABCD中，1AB，2BC，13AA，则异面直线AC与1BC之间的距离是（）A．55B．77C．66D．672．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，直线AC与1BC之间的距离是（）A．22B．33C．12D．133．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCDABCD中，1AB，2BC，13AA，则异面直线AC与1BC之间的距离是（）A．55B．77C．66D．67考点三点面距【例3-1】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面PAD平面ABCD，ABPD．(1)求证：平行四边形ABCD为矩形；(2)若E为侧棱PD的中点，且平面ACE与平面ABP所成角的余弦值为64，求点B到平面ACE的距离．【例3-2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图，在四面体ABCD中，,,2,3,60ADCDADCDACABCAB．点E为棱AB上的点，且ACDE，三棱锥DBCE的体积为36．(1)求点A到平面CDE的距离；(2)求平面BCD与平面CDE夹角的余弦值．【一隅三反】1．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PAB为等边三角形，面PAB底面ABCD，E为AD的中点.(1)求证：ACPE；(2)在线段BD上存在一点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为55.①确定点F的位置；②求点C到平面PEF的距离.2．（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知P为圆锥的顶点，O为底面的圆心，其母线长为6，边长为33的等边ABC内接于圆锥底面，ODOP且1,12.(1)证明：平面DBC平面DAO；(2)若E为AB中点，射线OE与底面圆周交于点M，当二面角ADBC的余弦值为519时，求点M到平面BCD的距离.考点四面面距【例4】（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，则平面1ABC与平面11ACD之间的距离为A．36B．33C．233D．32【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，2OA，M、N、R分别是OA、BC、AD的中点．求：(1)直线MN与平面OCD的距离；(2)平面MNR与平面OCD的距离．2．（2023·全国·高三专题练习）直四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱13AA，MN、分别为1111ABAD、的中点，EF、分别是1111,CDBC的中点．(1)求证：平面AMN//平面EFBD；(2)求平面AMN与平面EFBD的距离．3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，1BB的中点．(1)求证：平面11//ADC平面EFG；(2)求平面11ADC与平面EFG间的距离．4．（2023·全国·高三专题练习）底面为菱形的直棱柱1111ABCDABCD中，EF、分别为棱1111ABAD、的中点.(1)在图中作一个平面，使得BD，且平面//AEF.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱1111ABCDABCD的截面）；(2)若12,60ABAABAD，求平面AEF与平面的距离d.