7.3 空间角（精讲）（学生版）

7.3空间角（精讲）空间角的概念及范围空间角解题思路夹角范围线线角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为uvrr、则uvuvuvcoscos,rrgrrrr02(,]线面角l为平面α的斜线，ar为l的方向向量，nur为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则||ansincosananrrgrrrr＝〈，〉＝0，π2二面角平面α的法向量为1nur，平面β的法向量为2nuur，〈1nur，2nuur〉＝θ，设二面角大小为φ，则1212||cos=|cos|=||||nnnnuruurguruur0[,]一．异面直线所成的角1.几何法:平移法求异面直线所成的角(1)作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；（2）证：证明作出的角是异面直线所成的角；（3）求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．2.向量法(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是0，π2，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.二．直线与平面所成角1.几何法一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.2.向量法（1）斜线的方向向量（2）平面的法向量（3）斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（或钝角的补角），取其余角就是斜线和平面所成的角.三．二面角1.几何法方法一：定义法：找出二面角的平面角方法二：垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.2.向量法（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.考法一线线角【例1-1】（2023·河南洛阳）如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（）A．36B．63C．13D．12【例1-2】（2023秋·陕西汉中）在三棱锥ABCD中，4ABACAD，BCD△的边长均为6，P为AB的中点，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（）A．2244B．2222C．32244D．2211【一隅三反】1．（2023·北京）如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线1BC与EF所成的角的大小为（）A．30B．45C．60D．902．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）在长方体1111ABCDABCD中，11BCCC，2AB，则异面直线1BC与1AB所成角的余弦值为（）A．23B．63C．66D．333．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PAD是正三角形，2AB，平面PAD平面ABCD，则PC与BD所成角的余弦值为（）A．14B．24C．13D．33考法二线面角【例2-1】（2023秋·福建福州）如图，在底面为菱形的四棱锥MABCD中，2ADBDMB，2MAMD．(1)求证：平面MAD平面ABCD；(2)已知2MNNB，求直线BN与平面ACN所成角的正弦值．【例2-2】（2023秋·湖北）如图，在四棱台1111ABCDABCD中，1AA底面ABCD，M是AD中点.底面ABCD为直角梯形，且ADBC∥，11112ABBCADAAAD，90ABC.(1)求证：直线1DD∥平面1BCM；(2)求直线CD与平面1BCM所成角的正弦值.【一隅三反】1．（2022秋·陕西渭南·高三统考阶段练习）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA底面ABC，ABBC，12ABBCAA，,MN分别为1AB，AC的中点．(1)求证：//MN平面11BCCB；(2)求直线AB与平面AMN所成角的正弦值．2．（2023秋·重庆·高三统考开学考试）如图，P为圆锥的顶点，A，B为底面圆O上两点，2π3AOB，E为PB中点，点F在线段AB上，且2AFFB.(1)证明：平面AOP平面OEF；(2)若OPAB，求直线AP与平面OEF所成角的正弦值.3．（2023春·北大附中校考期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC平面PCD，PACD，2,3CDAD.(1)设,GH分别为,PBAC的中点，求证：//GH平面PAD；(2)求证：PA平面PCD；(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.考法三二面角【例3-1】（2023秋·广东）如图，在多面体ABCDE中，AB平面BCD，平面ECD平面BCD，其中ECD是边长为2的正三角形，BCD△是以BDC为直角的等腰三角形，3AB.(1)证明：//AE平面BCD.(2)求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值.【例3-2】（2023春·湖南永州·高三统考阶段练习）在正方体1111ABCDABCD中，E、F分别是棱AB、CD的中点.(1)求证：//EF面1ABC；(2)求二面角1ABCA的大小.【一隅三反】1．（2023秋·山西吕梁·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥PABCD中，PB平面ABCD，//ADBC，ABBC，1ABAD，2BC，点E是棱PD上的一点．(1)若BEPD，求证：平面EBC平面PCD；(2)若1PB，2DEPE，求平面EBC与平面PAD的夹角的余弦值．2．（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）在直三棱柱111ABCABC-中，侧面11AABB为正方形，4ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，11BFAB.(1)证明：1BFAE.(2)求二面角CBFE的余弦值.3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱ABCABC中，已知CB平面,2ABBAAB，且,ABBBACAB.(1)求AA的长；(2)若D为线段AC的中点，求二面角ABCD的余弦值.4．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，ABPD.(1)证明：平面PAD平面ABCD；(2)若PAPD，60PDA，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.考法四动点问题求角【例4】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知直角梯形ABCD与ADEF，222DEBCADABAF，ADAF，//EDAF，AD⊥AB，//BCAD，G是线段BF上一点.(1)平面ABCD⊥平面ABF(2)若平面ABCD⊥平面ADEF，设平面CEG与平面ABF所成角为，是否存在点G，使得14cos14，若存在确定G点位置；若不存在，请说明理由.【一隅三反】1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知四棱锥PABCD，底面为菱形,ABCDPD平面ABCD，2,,3PDADCDBADE为PC上一点.(1)平面PAD平面PBCl，证明：BCl∥；(2)当二面角EBDC的余弦值为217时，试确定点E的位置.2．（2023秋·湖南衡阳·高三校考阶段练习）如图1，在平面图形ABCDE中，1AEEDBDBC，BCBD，//EDAB，60EAB，沿BD将BCD△折起，使点C到F的位置，且BFBE，EGBF，如图2.(1)求证：平面GEBF平面AEG.(2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为34?若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由.3．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，12,4ABAA．点2222,,,ABCD分别在棱111,,AABBCC,1DD上，22221,2,3AABBDDCC．(1)证明：2222BCAD∥；(2)点P在棱1BB上，当二面角222PACD为150时，求2BP．