7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（学生版）

7.1空间几何中的平行与垂直（精讲）一．直线与平面平行1.直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.2.判定定理与性质定理直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b二．平面与平面平行1.平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面.2.判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b三．三种平行关系的转化四．直线与平面垂直1.直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.2.判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b五．平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.2.判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α六．三种垂直关系的转化一．判断或证明线面平行的常用方法（1）利用线面平行的定义(无公共点).（2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)→线线垂直①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；④线段成比例法．⑤线面平行的性质定理（3）利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).（4）线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).二．证明面面平行的常用方法1.面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)；4.如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)；5.利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．三．平行关系中的三个重要结论1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2.平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.四．必背常用结论1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．5．同一条直线与两个平行平面所成角相等．6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．7．垂直于同一条直线的两个平面平行8．如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行．五．证明线面垂直常用的方法1.判定定理：线面垂直→线线垂直正方形：边边垂直，对角线垂直菱形：对角线垂直图形矩形：边边垂直等腰（等边）三角形：取中点三线合一边长或边长的关系：正余弦定理，勾股定理2.垂直于平面的传递性3.面面垂直的性质.4.线面垂直的定义六．三个重要结论1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.2.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).3垂直于同一条直线的两个平面平行.考法一线面平行【例1-1】（2023浙江省）如图，正三棱柱111ABCABC-中，点D为BC的中点，求证：1AB∥平面1ACD【例1-2】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，//ABCD，，22ABADCD，E为棱PB的中点.，证明：//CE平面PAD【例1-3】（2023·海南）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，2ABADAPCD，M是棱PB上一点，若2BMMP，求证：PD平面MAC【例1-4】（2023·福建）如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD，//EF平面ABCD，且22DEEFAB，求证：//BF平面AEC【例1-5】（2023·安徽）如图，ABC中，22ACBCAB，ABED是正方形，平面ABED平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．求证：GF平面ABC；【例1-6】（2023·湖南长沙）如图所示的在多面体中，,ABADEBEC，平面ABD平面BCD，平面BCE平面BCD，点,FG分别是,CDBD中点，证明：FG//平面BCE【一隅三反】1．（2023春·贵州）如图，在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是棱1AC，AB的中点，求证：//EF平面1AAD2．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知直棱柱1111ABCDABCD的底面ABCD为菱形，点E为11BD的中点，证明：//AE平面1BDC3．（2023春·山东滨州）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，CDAB∥，AB=2CD，设平面PAD与平面PBC的交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明：//l平面DEF．4．（2023·云南）已知点E，F分别是正方形ABCD的边AD，BC的中点.现将四边形EFCD沿EF折起，如图所示.若点G，H分别是AC，BF的中点，求证：//GH平面EFCD.5．（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11ACCA是矩形，1,2ACABABAA，13,120ACAAB，,EF分别为棱11,ABBC的中点，G为线段CF的中点，证明：1//AG平面AEF6．（2023·全国·高三对口高考）已知正方形ABCD和正方形ABEF，如图所示，N、M分别是对角线AE、BD上的点，且ENBMANMD．求证：//MN平面EBC．考法二面面平行【例2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF，求证：平面//OEF平面PCD【一隅三反】1．（2023·上海）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，ABAD，2BCAB，,EF分别为棱,BCBP中点，求证：平面//AEF平面DCP2．（2023·海南海口·校联考一模）如图所示的多面体由正四棱柱1111ABCDABCD与正四棱锥PABCD组合而成，11AC与11BD交于点1O，5PA，14AA，18PO，证明：平面//PCB平面1AOD3．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的多面体中，//,ABCD形ACFE为矩形，求证：平面//ABE平面CDF考法三平行中的动点【例3】（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，且满足2,1ADDECE，将ADEV沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成四棱锥PABCE，若点F在线段AP上，且EF平面PBC，试确定点F的位置【一隅三反】1．（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，ABBC，//ADBC，PB底面ABCD，M为棱PC上的点，2PBABBC，1AD，若//DM平面PAB，求证：点M为PC的中点2．（2023·安徽淮南·统考二模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，//ABCD，22BDDCAB，E是棱PA上一点，AEEP，当//PC平面EBD，求实数λ的值3．（2023·北京通州·统考模拟预测）如图，在三棱柱111ABCABC-中，四边形11BCCB是正方形，122AC，1D为11BC的中点，D为棱BC上一点，1//BD平面1ADC，求证：D为BC中点考法四线面垂直【3-1】（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，13PAABBCPC，，求证：BC平面PAB；【例3-2】（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1A在平面ABC的射影恰为等边三角形ABC的中心，且2AB，12AA，证明：1BB平面1ABC【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中6,4,ABBC过A点作CD的垂线交CD的延长线于点E，AE23.连接EB交AD于点F，如图1，将ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置.如图2.证明：直线AD平面BFP.【一隅三反】1．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，28PAADAB，点M在棱PD上，且2PAPMPD，AMMC，求证：CD⊥平面PAD2．（2023·广东广州·统考三模）如图，在几何体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与平面ABCD互相垂直，且1ABBCBF，3ADCD，2EF，求证：BC平面CDE3．（2023广西）如图，四棱锥BAEDC中，平面AEDC平面ABC，F为BC的中点，P为BD的中点，且//AEDC，90ACD，2DCACABAE．证明：EP平面BCD考法五面面垂直【例5】（2023·河南·校联考模拟预测）在四棱锥PABCD中，//ABCD，2AD，2AB，22CD，PAD为等边三角形，45PDCADC，证明：平面PDC平面PBC【一隅三反】1．（2023春·广东佛山·高三佛山市第四中学校考开学考试）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD平面ABCD，1ADBD，2AB，求证：平面PBD平面PBC2．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）在三棱柱111ABCABC-中，AB侧面11BBCC，E为棱1CC的中点，三角形BCE为等边三角形，2AB，12BB，求证：面ABE面11ABE3（2023·全国·高三对口高考）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角PCDB大小为45.(1)求证：AF//平面PEC；(2)求证：平面PEC平面PCD；考法六线线垂直【例6-1】（2023·山东）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，//,90CDABABC，22ABBCCD，侧面PAD平面ABCD，求证：BDPA.【例6-2】（2023春·北京朝阳）如图，已知四棱锥PABCD底面ABCD是正方形，PAAC，E、F是的AD，PB中点，G为线段PC上一个动点，平面AFG交直线EC于点H．(1)若PAAB，平面PAB平面PBC，求证：AFBC；(2)若2PAAB，5PE，求证：PABC；(3)直线GH是否可能与平面PAB平行?若可能，请证明；若不可能，请说明理由．【一隅三反】1．（2023·湖南郴州）在三棱锥PABC中，已知PAB为正三角形，求证：ABPC2．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在三棱锥P