6.4 求和方法（精讲）（学生版）

6.4求和方法（精讲）一．公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．1.等差数列的前n项和公式Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d．2.等比数列的前n项和公式Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.二．裂项相消法1.通项特征（1）分式：分为可拆成偶数个同类因式相乘（2）根式：利用平方差公式进行有理化2.解题思路11=a(-)n=a[()+()+()+...+()]=通项原式通项裂项分母小因式分母大因式前项和相消后化简三．错位相减法1.通项特征等差数列等比数列（即一次函数指数型函数）或等差数列一次函数（即）等比数列指数型函数2.解题思路nnS+++...+n=1n=2n=3n=nqS+++...+q-①②①的基础上左右同时乘，即在①式中指数加1①②代入通项公式，等差数列当等比数列的系数在n-+k()=+k()=-Sn得（1q)S①中的第一项指数函数相加②的最后一项①中的第一项等比求和公式②的最后一项化简两边同时除以（1q)即得四．分组转化求和法1.通项特征(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)若an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数，且数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．2.解题思路n123n123nS(ccc...c)(bbb...b)nn根据a、b通项的特征选择求和的方法五．并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和1.通项特征形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．2.解题思路2n1234562n12nn123456n1n1S(aa)(aa)(aa)...(aa)=2(i)nS(aa)(aa)(aa)...(aa)=(ii)n2nn（）当求和为2n项时即S计算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法（）当求和为n项时即S，需要分n为奇数还是偶数当为偶数时计算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法当n123456n2n-1nn1234567n-1nS(aa)(aa)(aa)...(aa)+a=Saaaaa(aa)...(a+a)=为奇数时计算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法或（）（）计算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法五．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解1．并项求和时不能准确分组；2．用错位相减法求和时易出现符号错误，不能准确“错项对齐”；3．在应用裂项相消法求和时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项，后面就剩多少项，且前后对应项的符号相反．考法一裂项相消求和【例1-1】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等差数列{}na的公差为正数，且11a，若26114,2,aaaa分别是等比数列{}nb的前三项．(1)分别求数列{}na、{}nb的通项公式；(2)求数列11{}nnaa的前n项之和nS．【例1-2】（2023·广东广州·统考三模）已知数列na的前n项和为nS，且12S，12nnnSan，nnSbn(N)n．(1)求数列nb的通项公式；(2)设1(1)(1)nnnnbcbb，数列nc的前n项和nT，求证：213nT．【例1-3】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，14a且*14NnnaSn.(1)求数列na的通项公式;(2)若1221(1)lognnnnbna，求数列nb的前n项和nT.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n阶和数列各项和为nS．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S与三阶和数列各项和3S，并猜想nS的通项公式（无需证明）；(2)若311log3log33nnncSS，求nc的前n项和nT，并证明：1126nT．2．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列na满足111,12nnnaaaa．(1)证明1na为等差数列，并na的通项公式；(2)设214nnncnaa，求数列nc的前n项和nT．3．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列na中，112,1nnaaan(1)求数列na的通项公式；(2)设1nnba，数列nb的前n项和为nT，证明2nT.4．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设nS为数列na的前n项和，已知11a，且满足2(1)nnSan．(1)求数列na的通项公式；(2)设nT为数列nb的前n项和，当2n时，111nnnnbaaa．若对于任意*nN，有1nT，求1b的取值范围．考法二错位相减求和【例2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知数列{}na满足15a，123nnnaa（*nN）.记3nnnba.(1)求证：{}nb是等比数列；(2)设nncnb，求数列{}nc的前n项和.【一隅三反】1．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，且1nnSa.(1)求数列na的通项公式；(2)设212log1nnnbaa，求数列nb的前n项和nT.2．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知正项数列na的前n项和为nS，满足*22nnSanN，数列nb的前n项积为n!.(1)求数列,nnab的通项公式；(2)令nnncab，求数列nc的前n项和nT.3．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记正项数列na的前n项和为nS，已知点*,6nnaSnN在函数()(1)(2)fxxx的图象上，且11a，数列nb满足13nnbb，231ba．(1)求数列na，nb的通项公式；(2)设111nnnnaacbb，求数列nc的前n项和nT．考法三分组转化求和【例3-1】（2023秋·宁夏银川·高三校考期末）已知数列na是等差数列，13a，37a．(1)求数列na的通项公式；(2)若2nnnba，求数列nb的前n项和nT．【例3-2】（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知等差数列na满足310a，5226aa．(1)求na；(2)数列nb满足112,1,2nnnnban为奇数为偶数，nT为数列nb的前n项和，求2nT．【一隅三反】1．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设nS为公差不为0的等差数列na的前n项和，若1413,,aaa成等比数列，6333SS.(1)求数列na的通项公式；(2)设12lnnannnaba，求数列nb的前n项和nT.2．（2023·广东深圳·校考二模）已知na是等差数列，11a，0d，且1a，2a，4a成等比数列.(1)求数列na的通项公式；(2)令(1)nnnba，记123(1)nnnSbbbb，求nS.3．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列na的前n项和nS满足21nnSna，且11a．(1)求na的通项公式；(2)若2(1)nnnba，求数列nb的前n项和nT．考法四并项求和【例4-1】（2023·广东韶关·统考模拟预测）设等比数列na的前n项和为nS，已知11nnaS，*Nn.(1)求数列na的通项公式；(2)设1nnnban，求数列nb的前2n项和2nT.【例4-2】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在数列na中，15a，当2n时，1221nnnaa(1)求证：数列12nna是等差数列；(2)设211log1nnnabn，数列nb的前n项和为nS，求nS【例4-3】（2023·江苏苏州·校联考三模）已知数列na是公差不为0的等差数列，23a，且358,,aaa成等比数列.(1)求数列na的通项公式；(2)设πcos2nnnaba，求数列nb的前2023项和.【一隅三反】1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知数列na的前n项和nS，其中0na，且21nnSa.(1)求na的通项公式；(2)设1nnnba，求数列nb的前2023项和2023T.2．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知ABC的面积为1，点D，E，F分别为线段AB，AC，BC的中点，记DEF的面积为1a；点G，H，I分别为线段AD，AE，DE的中点，记GHI的面积为2a；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为na．(1)求1a，2a，并求数列na的通项公式；(2)若2lognnba，求数列1nnb的前n项和nS．3．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）记nS为数列na的前n项和，已知11a，且满足111nnnana.(1)证明：数列na为等差数列；(2)设1cosπnnnaSbnn，求数列nb的前21n项和21nT.考法五倒序相加求和【例5】（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行123100L的求和运算时，他这样算的：1100101，299101，…，5051101，共有50组，所以501015050，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列na是公比不等于1的等比数列，且120231aa，试根据以上提示探求：若24()1fxx，则122023fafafa（）A．2023B．4046C．2022D．4044【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数12fx为奇函数，且1gxfx，若2023nnag，则数列na的前2022项和为（）A．2023B．2022C．2021D．20202．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na的前n项和为nS，且1211121nnSSSn，设函数1cosπ2fxx，则32021122022202220222022aaaaffff______．