6.3 利用递推公式求通项（精讲）（学生版）

6.3利用递推公式求通项（精讲）一．公式法求通项1.条件特征：前n项和与项或项数的关系2.解题思路①当n＝1时，由a1＝S1求a1的值．②当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式③检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an．④写出an的完整表达式．二．累加法1.条件特征：𝑎后−𝑎前=𝑓(𝑛)2.解题思路n12132n1n2nn1aa(aa)(aa)+...(aa)(aa)===1根据f(n)中与前后项下标的关系写出每个括号的结果观察f(n)的特征选择合适的求和方法计算化简注意：记得最后a进行移项三．累乘法1.条件特征：a=f(n)na后前含有的式子2.解题思路nnn1n2321n1n2n3211aaaaaa.....aaaaaa=f(n)n=a根据中的与前后项下标的关系列式整理化简注意：将进行移项四．构造法1.形如an＋1＝pan＋q，p≠0，其中a1＝a型(1)若p＝1，数列{an}为等差数列；(2)若q＝0，数列{an}为等比数列；(3)若p≠1且q≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ，又an＋1＝pan＋q，所以(p－1)λ＝q，即λ＝qp－1(p≠1)，所以an＋1＋qp－1＝pan＋qp－1，即an＋qp－1构成以a1＋qp－1为首项，以p为公比的等比数列．2.形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型（1）一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得an＋1qn＋1＝pq·anqn＋1q，引入辅助数列{bn}其中bn＝anqn，得bn＋1＝pq·bn＋1q，再用待定系数法解决；（2）也可以在原递推公式两边同除以pn＋1，得an＋1pn＋1＝anpn＋1p·qpn，引入辅助数列{bn}其中bn＝anpn，得bn＋1－bn＝1pqpn，再利用叠加法(逐差相加法)求解．3.形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．4.形如an＋1＝panran＋s型两边同时取倒数转化为1an＋1＝sp·1an＋rp的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出1an的表达式，再求an．考法一公式法求通项【例1-1】（2022·四川·什邡中学）数列na的前n项和2321nSnn，则它的通项公式是_______．【例1-2】（2023春·安徽合肥）已知数列na的前n项和1233nnSa，则na的通项公式na【例1-3】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列na满足121213332nnnnnaaaa，*nN，则数列na的通项公式为___________.【一隅三反】1．（2023陕西）已知数列na前n项和为nS，且2nSn，则求数列na的通项公式；.2．（2023·全国·高三专题练习）记nS为数列na的前n项和，若24nnaSn，则na______3．（2023云南）已知正项数列na的前n项和为nS，且满足22nnnSaanN求na的通项公式：4．（2023春·安徽）在数列na中11a，当2n时，1211121nnaaaan，则其通项公式为na___．考法二累加法求通项【例2-1】（2023春·北京）若数列na满足*111,1Nnnaaann，则通项公式为na__________.【例2-2】（2023春·安徽马鞍山）在数列{}na中，11a，11(1)nnaann，则na【例2-3】（2023江苏）已知数列na满足132a，112nnnnnaan，求数列na的通项公式；【一隅三反】1．（2023春·江苏盐城）设等差数列na满足14a，512a，且12b，1nnnbba*nN，则nb2．（2023北京）设数列na满足21112,32nnnaaa，则na=_______.3．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列na满足112nnnana，11a，则数列na的通项公式为______．考法三累乘法求通项【例3-1】（2023海南）已知在数列{}na中，112,1nnnaaan，求数列na的通项公式【例3-2】（2023春·广东佛山·）已知12a，1nnnanaa，则数列na的通项公式是na【一隅三反】1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列na满足12a，1221nnnaan，则na的通项公式为___________．2．（2023黑龙江）设数列na是首项为1的正项数列，且221110nnnnnanaaa，则它的通项公式na______.3．（2023·广东深圳）数列na满足：112a，212nnaaana，则数列na的通项公式考法四构造等比数列【例4-1】（2023·吉林）已知数列na中，11a，且123nnaa（2n，且Nn），则数列na的通项公式为__________．【例4-2】（2023·北京）已知数列na满足111243,1nnnaaa，则数列na的通项公式为_____________.【例4-3】（2023·辽宁抚顺市）已知nS是数列na的前n项和，11321nnnaaa，11a，24a，求数列na的通项公式；【一隅三反】1．（2023广西）若数列na满足138nnaa，且16a，则数列na的通项公式为na_________.2.（2023黑龙江）已知数列na的前n项和为nS，且2nnSan，求数列na的通项公式；3（2023湖北）设nS为数列na的前n项和，11a，且121nnSSn，数列na的通项公式；考法五构造等差数列【例5-1】（2023春·云南临沧）已知数列na中，*1111,nnnnaaaaanN数列na的通项公式【例5-2】（2023河北）已知数列na的首项11a，且各项满足公式122nnnaanNa，则数列na的通项公式为A．nanB．C．2nanD．1nan【例5-3】（2022·江西）已知数列na满足：11a，1122nnnaa（2n，nN），则na___________.【一隅三反】1．（2023·安徽）已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式．2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na中，213a，112nnnnaaaa．求数列na的通项公式；3（2023广东湛江）已知数列na中，11a，133nnnaa，求数列na的通项公式.