6.2 等比数列（精讲）（学生版）

6.2等比数列（精讲）一．等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.二．等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1，通项公式的推广：an＝amqn－m.三．等比数列的前n项和公式首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.四．等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.1.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.3.若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m，S2m－S3m，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．4.若a10，q1或a10，0q1，则等比数列{an}递增．若a10，0q1或a10，q1，则等比数列{an}递减．5.项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q．①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1项，则S奇－a1S偶＝q．一．等比数列基本量的运算等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.二．等比数列的三种常用判定方法定义法若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列考法一等比数列的基本量的运算【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知nS是各项均为正数的等比数列na的前n项和，若2481aa，313S，则6a（）．A．21B．81C．243D．729【例1-2】（2022·吉林·长春市）已知等比数列na的前n项和为nS，且公比1q，245aa，154aa，则nS（）A．121nB．1122nC．122nD．21n【例1-3】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知数列na满足221nnnaaa，*nN，若716a，354aa，则2a的值为______.【一隅三反】1．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列na的各项均为正数，前n项和nS，若11a，5354SS，则4S（）A．158B．658C．15D．402．（2023春·北京）已知各项均为正数的等比数列na满足1314aa，241aa，则6a（）A．2B．4C．8D．163．（2022·河南安阳）已知na为等比数列，36457,8aaaa，则27aa_________．4．（2023·全国·高三专题练习）已知nS是等比数列na的前n项和，若存在*mN，满足22519,1mmmmSamSam，则数列na的公比为A．2B．2C．3D．3考法二等比数列的判断与证明【例2】（2023·广东·高三专题练习）在数列na中，11a，*12362,Nnnaannn，求证：数列3nan为等比数列，并求数列na的通项公式；【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足11a，且13212nnnaan，若1122nnnba．(1)证明：nb为等比数列．(2)求na的通项公式．2．（2023·广东深圳·校考一模）已知函数na的首项135a，且满足1321nnnaaa，求证11na为等比数列，并求na．3．（2023·山东潍坊·三模）已知数列na和nb满足11113,2,2,2nnnnnnabaabbab，证明：nnab和nnab都是等比数列；考法三等比数列的中项性质【例3-1】（2023春·江西）在等比数列na中，若33a，55a，则7a（）A．253B．9C．15D．7【例3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列na，3a，7a是方程2540xx的两根，则5a的值是（）A．2或12B．2或12C．2D．12【例3-3】（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列na中，3a与8a是方程230100xx的两个根，则1210lglglgaaa_________.【一隅三反】1．（2023春·辽宁鞍山）若五个数1、x、y、z、16成等比数列，则（）A．4y，16xzB．4y，16xzC．4y，16xzD．4y，16xz2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na是等差数列，数列nb是等比数列，若2465πaaa，24633bbb，则1726tan1aabb（）A．3B．3C．33D．333．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知0xy，向量2,1mx与向量11,22ny垂直，x，y，2成等比数列，则x与y的等差中项为（）A．34B．32C．12D．14．（2023·全国·高三专题练习）设函数2fxxxc，若1f，2f，3f成等比数列，则c（）A．6B．2C．2D．6考法四等比数列的前n项和【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）记nS为等比数列na的前n项和，若45S，6221SS，则8S（）．A．120B．85C．85D．120【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）等比数列{}na的前n项和为nS，若121nnSt，则t（）A．2B．-2C．1D．-1【例4-3】（2023广东深圳）已知一个项数为偶数的等比数列na，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则1a（）A．1B．4C．12D．36【一隅三反】1．（2023福建福州）已知等比数列na的前n项和54nS，前2n项和260nS，则前3n项和3nS（）A．64B．66C．2603D．26632．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知等比数列na的前n项和为nS，若4817SS，则124SS（）A．41B．45C．36D．433．（2023·全国·高三对口高考）已知等比数列na的前n项和为13nnSc，则c__________.4．（2023·江苏宿迁）已知等比数列na的前10项中，所有奇数项的和为1854，所有偶数项的和为11702，则36912Saaaa的值为______．考法五等比数列的最值【例5-1】（2023春·辽宁鞍山）等比数列na的前n项积为nT，且满足11a，10210310aa，102103101aa，则使得1nT成立的最大自然数n的值为（）A．102B．203C．204D．205【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，并且满足条件11a，781aa，87101aa，则下列结论正确的是（）A．01qB．791aaC．nS的最大值为9SD．nT的最大值为7T【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，并且满足条件11a，671aa，67101aa，则下列结论正确的是（）A．681aaB．01qC．nS的最大值为7SD．nT的最大值为7T2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设等比数列na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，并满足条件11a，201920201aa，20192020101aa，下列结论正确的是（）A．20192020SSB．2019202110aaC．2020T是数列nT中的最大值D．若1nT，则n最大为4038．3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列{}na的公比为q，前n项积为nT，若1128a，且78TT，则下列命题正确的是（）A．81aB．当且仅当8n时，nT取得最大值C．12qD．*121215N,15nnaaaaaann考法六等比数列在实际生活中的运用【例6】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第五天走的里程数约为（）A．2.76B．5.51C．11.02D．22.05【一隅三反】1．（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（）元（参考数据：111.27.5，121.29）A．35200B．43200C．30000D．320002．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（）A．55510887斗B．65510887斗C．55510887斗D．65510887斗3．（2023·陕西榆林·统考三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i（1216i，，，）匹马的日行路程是第1i+匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取171.052.292）（）A．7750里B．7752里C．7754里D．7756里