5.5 解三角形与其他知识的综合运用（精讲）（学生版）

5.5解三角形与其他知识的综合运用（精讲）一．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).二．方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).三．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.四.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.考法一解三角形在实际生活中的运用【例1-1】（2023·河北·模拟预测）释迦塔俗称应县木塔，建于公元1056年，是世界上现存最古老最高大之木塔，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.2016年、释迦塔被吉尼斯世界纪录认定为世界最高的木塔.小张为测量木塔AB的高度，设计了如下方案：在木塔所在地面上取一点M，并垂直竖立一高度为1m的标杆MN，从点N处测得木塔顶端A的仰角为60°，再沿BM方向前进92m到达C点，并垂直竖立一高度为2.5m的标杆CD，再沿BC方向前进2m到达点E处，此时恰好发现点A，D在一条直线上.若小张眼睛到地面的距离1.5mEF，则小张用此法测得的释迦塔的高度AB约为（参考数据：31.732）（）A．64.5mB．67.8mC．70.2mD．72.4m【例1-2】（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度1003,502MCmNBm，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为60，N点的人仰角为30，以及45MAN，则M，N间的距离为（）A．1002mB．120mC．1003mD．200m【一隅三反】1．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）如图所示，某学生社团在公园内测量某建筑AE的高度，E为该建筑顶部.在B处测得仰角30ABE，当沿一固定方向前进60米到达C处时测得仰角45ACE，再继续前进30米到达D处时测得仰角60ADE，已知该建筑底部A和B、C、D在同一水平面上，则该建筑高度AE为（）A．303202B．203302C．45D．902．（2023·陕西西安·统考一模）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为6cm，在它们之间的地面上的点M（,,BMD三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度约为(取31.7)（）A．24.2mB．28.2mC．33.5mD．46.4m3．（2023·浙江·高三专题练习）喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得45BCD，105BDC，100CD米，在点C处测得酒店顶端A的仰角28ACB，则酒店的高度约是（）（参考数据：21.4，62.4，tan280.53）A．91米B．101米C．111米D．121米考法二解三角形与平面向量的综合【例2】（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量,cos2Ama，,cos2Bnb，,cos2pcC共线，则ABC形状为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【一隅三反】1．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知点O为ABC的外心，且AOABBOBCCOCA，则ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定2．（2022·广东广州·三模）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量(,)mbac，(,)nbcca，mn.(1)若8a，8ABAC，D为边BC的中点，求中线AD的长度；(2)若E为边BC上一点，且1AE，:2:BEECcb，求2bc的最小值.考法三解三角形与三角函数性质综合【例3】（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知函数2sin3sincos1222xxfxx.(1)求函数yfx的单调递减区间；(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足221cos2abacBbc，求fB的取值范围.【一隅三反】1．（2023·上海·高三专题练习）已知3()3cos22sinsin()2fxxxx，xR，（1）求()fx的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且()3fA，4a，求BC边上的高的最大值．2．（2023·全国·高一专题练习）已知向量cos,sinaxx，sin,cos66bxx，函数fxab.（1）求函数fx的零点；（2）若钝角ABC的三内角,,ABC的对边分别是a，b，c，且1fA，求bca的取值范围.3．（2023·安徽）已知函数sin6fxxm，将yfx的图象横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6个单位后得到gx的图象，且ygx在区间,43内的最大值为32.（1）求m的值；（2）在锐角ABC中，若322Cg，求tantanAB的取值范围.考法四解三角形与各种心的综合【例4】（2022·广东·模拟预测）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且3sincoscosaBCcbA.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.①O为ABC的内心；②O为ABC的外心；③O为ABC的重心.(1)求A；(2)若6,10bc，__________，求OBC的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【一隅三反】1.（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图，在△ABC中，已知2AB，23AC，30BAC，BC边上的中线AM与ABC的角平分线BN相交于点P．(1)MPN的余弦值．(2)求四边形PMCN的面积.2．（2022·广东广州·三模）在①sinsin2AbaB；②3sin2cosaBbA这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知ABC中，,,abc分别为角,,ABC所对的边，__________.(1)求角A的大小；(2)已知2,8ABAC，若,BCAC边上的两条中线,AMBN相交于点P，求MPN的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.3．（2022·广东深圳·一模）如图，在△ABC中，已知2AB，62AC，45BAC，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．(1)求BAM的正弦值；(2)求MPN的余弦值．