5.3 三角函数的性质（精讲）（学生版）

5.3三角函数的性质（精讲）一.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图:“五点法”作图原理：1.正弦函数与余弦函数的图像画法在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)一个周期内的简图时，要找五个关键点x－φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ二．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ无三．伸缩平移1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.一．求三角函数周期的方法1.定义法；2.公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝2π|ω|，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|；3.图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．二．三角函数的定义域求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象．三．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：1.形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；2.形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；3.形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)；4，形如y＝asinx＋bcsinx＋d，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法，也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解求值域(最值)．四．三角函数的单调性①先把ω化为正数②化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间③把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内解x．五．三角函数的对称性1.对称轴：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)或令ωx＋φ＝π2＋kπ（k∈Z），求x即可.2.对称中心：对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ2(k∈Z)，求x即可.六．三角函数的奇偶性yAsin(x)ByAcos(x)ByAtan(x)B=+k(22=k(2k(221形如或或影响奇偶性的因素为和B（前提定义域关于原点对称）（1）B0，原为奇函数的变成非奇非偶函数，B对原来为偶函数没有影响为的奇数倍）变性：奇变偶，偶变奇（2）为的偶数倍）不变性：奇是奇，偶是偶不等于的整数倍）非奇非偶函数注意：（）（2）必须同时满足七．三角函数的伸缩平移xxyAsin(x)ByAcos(x)ByAtan(x)BA1A0A1B0BB0或或伸长（乘除）伸缩缩短纵坐标向上平移（加减）上下平移向下平移（乘除）伸缩变化倍数成倒数关系横坐标（加减）左右平移平移时x的系数化成1八．三角函数中的ω的求解1.若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解；2.若已知函数的对称性，则根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以研究ω的取值；3.若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.九．易错点：对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数.考法一三角函数的周期【例1-1】（2023·北京）在下列四个函数，①sinyx②cosyx（3）π2sin23yx④π2tan10yx中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．②③④C．②③D．③④【例1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（）A．2cossincosfxxxxB．1cos22sincosxfxxxC．ππcoscos33fxxxD．ππsincos66fxxx【例1-3】（2022秋·河北）函数()|sin||cos|fxxx的最小正周期为（）A．πB．3π2C．π2D．π4【一隅三反】1．（2023·湖南）给出下列函数：①cos2yx；②cosyx；③πcos26yx；④πtan24yx．其中最小正周期为π的有（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）函数1sin22yx的最小正周期为（）A．πB．2πC．π2D．不能确定3．（2023北京）下列函数中，最小正周期为2的是（）A．sinyxB．cos2yxC．tanyxD．sin2yx4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数πcos6fxx的部分图象如图所示，则（）A．1B．32C．2D．52考法二三角函数的对称性与奇偶性【例2-1】（2023·海南）设函数3sin2(0π,R)yxx的图象关于直线π3x对称，则等于（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【例2-2】（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数()2cos(3)fxx的图象关于点4π,03对称，那么的最小值为________．【例2-3】（2023·广东）函数π()sin42fxx是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数【例2-4】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数3sin2cos2fxxx为偶函数，则的一个值可以是（）A．π3B．π6C．π3D．7π6【一隅三反】1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数π()sin()(0)3fxx，若对于任意实数x，都有π()()3fxfx，则的最小值为（）A．2B．52C．4D．82．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数5ππ2sinsin63fxxx图象的对称轴可以是（）A．直线5π12xB．直线π3xC．直线π6xD．直线2π3x3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数ππsincossinsin36fxxx的图象关于坐标原点对称，则的可能取值为（）A．π3B．π6C．π3D．2π34．（2022秋·辽宁锦州·高三校考阶段练习）函数ππsin2,(0)62fxx是偶函数，则____．考法三三角函数的定义域与值域【例3-1】（2023春·上海静安）函数3log2cos3yx的定义域是__________.【例3-2】（2023春·北京昌平）23sin2cosfxxx的最大值为（）A．2B．4C．6D．8【例3-3】（2023云南）函数cos3sinfxxx在π0,2的最大值是（）A．2B．0C．1D．3【例3-4】（2023·全国·高三专题练习）函数coscos2fxxx是（）A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最小值为98C．奇函数，且最小值为98D．偶函数，且最大值为98【例3-5】（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数sin22sinyxx的最大值为__________．【例3-6】（2023·安徽）设函数sinyx定义域为,ab，值域为11,2，则ba的最大值为______【一隅三反】1．（2023春·辽宁本溪）函数2π1tan44yxx的定义域为________．2．（2023春·辽宁沈阳）函数tan1πtan6xyx的定义域为______．3.（2023·福建）函数π3sin202yxx最大值为（）A．2B．5C．8D．74．（2023春·四川南充）函数2cos()2cosxfxx的值域为______.5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）当π,6xm时，函数πcos33fxx的值域是31,2，则m的取值范围是（）A．π7π,918B．2π7π,918C．π5π,918D．2π5π,918考法四三角函数的单调性【例4-1】（2023湖北）函数π3sin26yx的单调递增区间是（）A．π5ππ,π,36kkkZB．πππ,π,63kkkZC．π5π2π,2π+,36kkkZD．ππ2π,2π,63kkkZ【例4-2】（2023·辽宁朝阳）（多选）下列函数中，以2π为最小正周期，且在区间π0,4上单调递增的是（）A．sin2yxB．πsin4yxC．πcos4yxD．1tan2yx【例4-3】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知sin0.9,0.9,cos0.9abc，则,,abc的大小关系是（）A．abcB．bcaC．bacD．cba【一隅三反】1．（2023春·山东）函数sin3cos0,πfxxxx的单调递增区间是（）A．50,π6B．5ππ,66C．π,03D．π,063．（2023春·广西）已知函数22()cossin22xxfx，则（）A．fx在ππ,26上单调递减B．fx在ππ,412上单调递增C．fx在π0,3上单调递减D．fx在2π7,π41上单调递增4．（2023春·上海长宁）在下列函数中，既是π0,2上的严格增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的函数是（）A．sin2yxB．cos2yxC．sinyxD．sinyx考法五函数的伸缩平移【例5-