4.5 导数的综合运用（精练）（学生版）

4.5导数的综合运用（精练）1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数1ln1fxxax.(1)若0fx，求实数a的值；(2)已知*nN且2n，求证：111ln23nn.2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数()(2)e2xfxxax，Ra．(1)当[0,)x时，()0fx恒成立，求a的取值范围；(2)求证：对一切的*Nn，111ln13521nn．3．（2023·四川凉山·三模）已知函数2ln1fxaxx．(1)讨论函数fx的单调性；(2)当2a，若两个不相等的正数m，n，满足0fmfn，证明：2mn．4．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数31π1sincos0,sin222fxxxxxgxfxxax．(1)求fx在π2x处的切线方程；(2)若任意0,x，不等式0gx恒成立，求实数a的取值范围．5．（2023·河北·模拟预测）已知函数eeRxfxaxa.(1)讨论函数fx的单调性；(2)若存在实数a，使得关于x的不等式fxa恒成立，求实数的取值范围.6．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数elnxafxx.(1)当0a时，求曲线yfx在1,1f处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若存在0e,x，使0()0fx成立，求a的取值范围.7．（2023·云南·校联考三模）已知函数2ln,Raxxfxax.(1)当1a时，求gxxfx的单调区间；(2)若fx有2个不同的零点1212,xxxx，求证：2212542xxa.8．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若函数211ln022fxaxxax有两个零点12,xx，且12xx．(1)求a的取值范围；(2)若fx在1,0x和2,0x处的切线交于点33,xy，求证：3122xxx．9．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数()ln(3)fxxxx.(1)讨论()fx的单调性；(2)若存在123,,(0,)xxx，且123xxx，使得123()()()fxfxfx，求证：1232xxx.10．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数lnhxxaxaR.(1)若hx有两个零点，a的取值范围；(2)若方程eln0xxaxx有两个实根1x、2x，且12xx，证明：12212eexxxx.11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数lneaxxfxxax，其中e为自然对数的底数.(1)当1a时，求fx的单调区间；(2)若函数eaxxgxfx有两个零点1212,xxxx，证明：212exx.12．（2023·陕西·统考二模）已知函数22ln21fxaxxaxa．(1)若1a，证明：22fxxx；(2)若fx有两个不同的零点12,xx，求a的取值范围，并证明：122xxa．1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于x的不等式e1lne1xaxa在0,1x内有解，则实数a的取值范围是（）A．21,e2eB．1,eeC．21,eeD．1,e2e2．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数2e()2ln(R)xfxaxxax，若对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得ftfs，则实数a的取值范围为（）A．1,2eB．1,2eC．0,D．,03．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数elnxfxax有两个大于1的零点，则a的取值范围可以是（）A．0,1B．1e1,eC．1ee,eD．e12ee,e4．（2023·重庆·统考模拟预测）（多选）已知ln0fxaxxa，当1x时，存在b，Rc，使得2fxbxcx成立，则下列选项正确的是（）A．0,1aB．1,2bC．1,0cD．2abc5．（2023·河北邯郸·统考三模）若曲线exy与圆22()2xay有三条公切线，则a的取值范围是____．6．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数21e202xfxxaxa的导函数为fx.(1)当1a时，求函数fx的极值点的个数；(2)若函数212hxfxxx有两个零点12,xx，求证：122xx.7．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知函数21()ln12fxxxaxx有两个极值点12,xx，且12xx.(1)求1()fx的取值范围；(2)若122xx，证明：2128xx8．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数()(1)exfxx，31()e(12cos)2xgxxaxxx，其中01x，Ra.(1)证明：()()0fxfx；(2)若()()fxgx恒成立，求a的取值范围.9．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数()(1)lnfxmxmxm．(1)讨论()fx的单调性；(2)证明：当1m£，且1x时，1()exfx．10．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知函数()(1)ln(1)fxxxax，0a．(1)若()0fx在[1,)上恒成立，求a的取值范围；(2)证明：4111ln413741nn．11．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数ln1fxxxaaR.(1)证明：曲线yfx在点1,1f处的切线经过坐标原点；(2)若1a，证明：fx有两个零点.12．（2023·全国·统考高考真题）已知3sinπ(),0,cos2xfxaxxx(1)若8a，讨论()fx的单调性；(2)若()sin2fxx恒成立，求a的取值范围．13．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知函数()exfxax，2()lngxxxx．(1)判断()fx和()gx的单调性；(2)若对任意,()0x，不等式()()fxgx恒成立，求实数a的取值范围．14．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数21lnxafxaxx，aR.(1)当2a时，证明：0fx在1,上恒成立；(2)判断函数fx的零点个数.15．（2023·山东烟台·统考三模）已知函数e,lnxfxagxxa，其中Ra．(1)讨论方程fxx实数解的个数；(2)当1x时，不等式fxgx恒成立，求a的取值范围．16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知函数lnfxaxx，Ra．(1)若1ea，求函数fx的最小值及取得最小值时的x值；(2)若函数e1lnxfxxax对0,x恒成立，求实数a的取值范围．17．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知函数2121eeR2xxfxaxa．(1)若函数()fx有两个极值点，求整数a的值；(2)若存在实数a，b，使得对任意实数x，函数()fx的切线的斜率不小于b，求ba的最大值．18．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数22()ln(R)2xaxafxxax．(1)讨论函数()fx的单调性；(2)若函数()fx有两个零点，求a的最大整数值．19．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知函数esin1,Rxfxaxxxa.(1)当0a时，讨论函数fx的单调性；(2)当12a时，证明：对任意的0,x，0fx；(3)讨论函数fx在0,π上零点的个数.20．（2023·广东广州·统考三模）已知函数11()eexxfx，2()(2)(0)gxaxxa．(1)求函数()fx的单调区间；(2)讨论函数()()()hxfxgx的零点个数．21．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数e?1e1xfxaxax.(1)当0a时，求fx的极值；(2)若关于x的方程0fx在0,1内有解，求a的取值范围.22．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数ln22fxxx，elnxgxaxa.(1)求函数fx的极值；(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.①若fxgx恒成立，求实数a的取值范围；②若关于x的方程fxgx有两个实根，求实数a的取值范围.23．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数1exxfxa和lnaxgxx在同一处取得相同的最大值．(1)求实数a；(2)设直线yb与两条曲线yfx和ygx共有四个不同的交点，其横坐标分别为1234,,,xxxx（1234xxxx），证明：1423xxxx．24．（2023·湖南·校联考二模）已知函数2ln2lnfxxx．(1)求fx的最小值；(2)证明：方程2ee2fxfxfx有三个不等实根．25．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数2exfxkxx（其中0k），exgxxx．(1)证明：函数fx在区间0,上单调递增；(2)判断方程fxgx在R上的实根个数．26．（2023·广东汕头·统考三模）设exfx，lngxx，(1)证明：1xfxxgx；(2)若存在直线yt，其与曲线xyfx和gxyx共有3个不同交点1,Axt，2,Bxt，3,Cxt123xxx，求证：1x，2x，3x成等比数列.27．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数232lnxfxxa，a为实数．(1)求函数fx的单调区间；(2)若函数fx在ex处取得极值，fx是函数fx的导函数，且12fxfx，12xx，证明：122exx28．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数1lnxaxfxx(1)若函数fx在定义域上单调递增，求a的最大值；(2)若函数fx在定义域上有两个极值点1x和2x，若21xx，ee2，求12xx的最小值．29．（2023·新疆·校联考二模）已知函数2e22xafxxax，aR，其中e为自然对数的底数．(1)若fx有两个极值点，求a的取值范围；(2)记fx有两个极值点为1x、2x，试证明：121223xxxx．30．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知函数21ln,2fxxxmxxmR（1）若gxfx，(()fx¢为fx的导函数)，求函数gx在区间1,e上的最大值；（2）若函数fx有两个极值点12,xx，求证：212xxe