3.3 指数运算及指数函数（精讲）（学生版）

3.3指数运算及指数函数（精讲）一.根式1.如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根；2.式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数；3.(na)n＝a．当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.二.分数指数幂的意义1.分数指数幂①正分数指数幂：amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)．②负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)．③0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．2.实数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈R)．三．指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的概念函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．易错点：形如y＝kax，y＝ax＋kk∈R且k≠0，a0且a的函数叫做指数型函数，不是指数函数.2．指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象与性质底数a10a1图象性质定义域为R，值域为(0，＋∞)图象过定点(0,1)当x0时，恒有y1；当x0时，恒有0y1当x0时，恒有0y1；当x0时，恒有y1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a1与0a1来研究一．指数幂运算原则（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．二．指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.三．指数函数的图象与底数大小的比较1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象越高，底数越大．2.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．3.比较指数式的大小的方法是(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．考法一指数幂运算【例1】（2023·贵州）化简求值（1）2102321273(2)(2)()();482（2）14113334422(3)(6)(,0)xxyxyxy．(3)10046234.253216322428229004；(4)4133322333381242aabbaababa（5）已知：11223aa，求33222222aaaa的值．【一隅三反】1.（2023·安徽）计算或化简下列各式：(1)200.5311161202296421；(2)413333223331aabbaaaabb．(3)013633470.00116238；(4)已知13xx，求下列各式的值：①1122xx；②3322xx．2．（2023·云南）解下列方程：(1)2123210xx；(2)342956xxx；(3)2lglg1020xxx；(4)lg2541lg5xxx．考法二指数函数的三要素及定点【例2-1】（2023·广东）函数①4xy；②4yx；③4xy；④(4)xy；⑤πxy；⑥24yx；⑦xyx；⑧(1)(1)xyaa中，是指数函数的是_________．【例2-2】（2023广东湛江）函数22313xxy的定义域为________．【例2-3】（2023·上海奉贤）点2,16P、2log3,Qt都在同一个指数函数的图像上，则t=________．【例2-4】（1）（2023春·湖北咸宁）当1,1x时，函数32xfx的值域是（）A．51,3B．1,1C．5,13D．0,1（2）（2023·辽宁丹东）函数2212xxy的值域为（）A．0,2B．0,C．2,D．1,【例2-5】（1）（2023云南）函数2630,1xfxaaa恒过定点（2）（2023·全国·高三专题练习）函数23(0xyaa且1)a的图象恒过定点A，若点A在直线40mxny上，其中0m，0n，则21mn的最小值为__________.【一隅三反】1．（2023春·山东滨州）函数327xy的定义域为2．（2023·上海）已知函数2(33)xyaaa是指数函数，求实数a的值．3．（2023·江西）下列函数中，属于指数函数的是_________．（填序号）①23xy﹔②13xy；③3xy；④(21)xya（a为常数，12a，1a）；⑤3yx；⑥4xy﹔⑦(4)xy．4．（2023春·北京顺义）函数2)1lg(2e2xfxxx的定义域为___．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx是定义域为R的奇函数，且当0x时，2xfxa．求函数fx的解析式.6．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数2421xxfx，0,3x，则其值域为_______．7．（2023春·上海嘉定）已知函数24,13,1xxyxmx的值域为,4，则实数m的取值范围是______.8.（2023北京）函数220,xyaa且1a的图象恒过某定点，则此定点为考法三指数函数的单调性及综合运用【例3-1】（2023春·河南周口）函数26812xxfx的单调递增区间为______.【例3-2】（2023湖北）函数21()5xaxfx在区间1,2上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．4aa∣B．{2}aa∣C．2aa∣D．{4}aa∣【例3-3】（1）（2023春·上海嘉定）不等式2151139xxx的解集为______．（2）（2022·海南·校联考模拟预测）不等式212e2exxxx的解集为【例3-4】（2023·全国·高三专题练习）设0.93a，0.59b，1213c，则（）．A．abcB．cbaC．bacD．bca【一隅三反】1.（2023新疆）已知函数1xfxe＝|在区间,a上是增函数，则实数a的取值范围是_____.2.（2022天津）求函数21181722xxy的单调区间.3．（2023·河北）已知函数1exfx，则不等式1fx的解集是4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数21,1,21,1xaxfxxxx在R上单调，则a的取值范围是5．（2023·全国·高三专题练习）已知252.5a，5775b，133c，则a、b、c的大小关系为_____________6.．（2023·江苏宿迁）若a，Rb，且满足1111222ba，那么（）A．abaaabB．aababaC．baaaabD．baaaba考法四指数函数的奇偶性【例4-1】（2023·全国·高三专题练习）若函数212xxkfxk为奇函数，则k_________【例4-2】2023·全国·高三专题练习）已知函数212xfxxa为偶函数，则a（）A．-1B．-2C．2D．1【例4-3】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数()fx在定义域R上满足()()0fxfx-+=，若()fx在,0上是减函数，且(1)0f，则不等式e0xf的解集为（）A．(0,)B．(1,0)(1,)C．(1,0)D．1,1e【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）若11e1xafx为奇函数，则实数a______.2．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数133xxfx，则fx（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数3（2023·辽宁鞍山·校联考一模）函数fx是定义在R上的偶函数，且11fxfx，若0,1x，2xfx，则2023f（）A．4B．2C．1D．04．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx的定义域为R，exyfx是偶函数，3exyfx是奇函数，则fx的最小值为（）A．eB．22C．23D．2e考法五指数函数的图像【例5-1】（2023春·内蒙古赤峰）若xbfxa的图像如图，（a，b是常数），则（）A．1a，0bB．1a，0bC．01a，0bD．01a，0b【例5-2】（2023·北京·人大附中校考三模）已知函数fxx，22xxgx，则大致图象如图的函数可能是（）A．fxgxB．fxgxC．fxgxD．fxgx【一隅三反】1．（2023·云南）函数24()exxfx的图像大致为（）A．B．C．D．2．（2023春·江苏南京）已知函数()fx的图象如图所示，则()fx可以为（）A．||()exfxxB．()eexxxfxC．()exxfxD．||3()exxfx3．（2023·全国·高三专题练习）函数3|33|xyx的图象大致是（）A．B．C．D．4．（2023·全国·高三专题练习）函数2221xxfxx的图象大致是（）A．B．C．D．考法六指数函数的综合运用【例6-1】（2023·贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L)与时间t（单位：h）间的关系为0ektPP，其中0P，k是正的常数．如果在前5h消除了10%的污染物，则10小时后还剩下百分之几的污染物？（）A．5%B．45%C．81%D．85%【例6-2】（2023春·湖北襄阳）已知函数422xxfxxR，则fx的图象（）A．关于直线1x对称B．关于点1,0对称C．关于直线0x对称D．关于原点对称【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(0)21xxafxa为偶函数，则函数fx的值域为___________.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2,Rxfxx，若不等式2()()0fxfxm在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.3．（2023·云南昆明·高三昆明一中