2.2 基本不等式（精讲）（学生版）

2.2基本不等式（精讲）一．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．(3)其中a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．二．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.三．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．一．基本不等式求最值满足条件利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等”.(1)“一正”就是各项必须为正数.(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.二．利用基本不等式求最值常见形式与方法（1）配凑法①形如𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)(其中f(x)是二次函数,g(x)是一次函数)的最值,常见分子中的自变量变形为分母的形式后,构造满足基本不等式的条件求最值.②配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.（2）常值代换法已知形如或可化为x+y=t(t为常数),求𝑎𝑥+𝑏𝑦的最值以及形如或可化为𝑎𝑥+𝑏𝑦=t,求cx+dy(cd≠0)型的最值,求解时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将𝑎𝑥+𝑏𝑦看作是(𝑎𝑥+𝑏𝑦)·𝑥+𝑦𝑡或cx+dy看作是cx+dy=(cx+dy)·(𝑎𝑡𝑥+𝑏𝑡𝑦),变形后利用基本不等式求最值.（3）消元法对于二元变量的条件最值问题,若不能够化为“角度三”的类型,常用其中一个变量表示另一个变量,将待求式化为一个变量的关系式后求最值,此类要注意所保留变量的取值范围.三．恒（能）成立含参数的问题①分离参数法：则常将参数分离后,利用最值转化法求解分离参数法→恒成立问题{参数（≥）函数的最大值参数（≤）函数的最小值分离参数法→存在性问题{参数（≥）函数的最小值参数（≤）函数的最大值四．利用基本不等式求解实际问题(1)根据题意将待求最大值或最小值的变量定义为函数后,将实际问题抽象出函数的解析后,再将函数解析式变形利用基本不等式求得函数的最值.(2)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.考法一直接法求最值【例1-1】（2023广西）函数220yxxx的最小值为（）A．12B．2C．22D．4【例1-2】（2022·北京大兴）当02x时，(2)xx的最大值为（）A．0B．1C．2D．4【例1-3】（2023·安徽滁州·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足233918aabacbc，则233abc的最小值是（）A．6B．46C．62D．63【一隅三反】1．（2022·广东茂名）若a，b都为正实数且1ab，则2ab的最大值是（）A．29B．18C．14D．122．（2023云南）若5xy,那么44xy的最小值是（）A．64B．128C．642D．12823．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数x，y满足22xy，则923xy的最小值为（）A．62B．42C．32D．224．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）若0a，0b，2ab，则abab的最小值为（）A．22B．2C．1D．2考法二配凑法求最值【例2-1】（2023内蒙古）已知x＞1，则821xx的最小值为（）A．8B．6C．12D．10【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）函数2614(1)1xxyxx的最小值是（）A．10B．12C．13D．14【一隅三反】1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模）函数413313yxxx的最小值为（）A．8B．7C．6D．52．（2023·云南）函数25301xxfxxx…的最小值是（）A．1B．3C．6D．123．（2022·江苏）当0x时，函数231xxyx的最小值为（）A．23B．231C．231D．44．（2023北京）函数222116141xxfxx的最大值是（）A．2B．74C．54D．34考法三常数替代求最值【例3-1】（2022·安徽）已知0x，0y，22xy，则12xy的最小值是（）A．1B．2C．4D．6【例3-2】（2023春·湖南）已知正实数a，b满足24ab，则111ab的最小值是（）A．1B．3328C．3226D．133【例3-3】．（2022·贵州毕节）已知0x，0y，且4xy，则2241xyxy的最小值为（）A．4B．72C．254D．5【例3-4】（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知14a，则141aaa的最小值是______．【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知,xy都是正数，且2xy，则4121xy的最小值为__________．2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数0ab，且5ab，则1112ab的最小值为___________.3．（2022·全国·高三专题练习）已知0x，0y，且(2)(4)8xy，则2xy的最小值为（）A．16B．842C．12D．642考法四消元法求最值【例4】（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若4x，1y，且124xyxy，则xy的最小值是（）A．5B．8C．13D．16【一隅三反】1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知0x，0y，且26xyxy，则2xy的最小值为（）．A．4B．6C．8D．122．（2022·河南·郑州四中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则23abab（）A．有最大值176B．有最大值145C．有最小值176D．有最小值1453．（2022·辽宁丹东）已知0a，0b，2ab，则211abab的最小值为（）A．43B．73C．52D．3考法五基本不等式解成立问题【例5-1】（2023·河南）若对任意正数x，不等式22214axx恒成立，则实数a的取值范围为（）A．0,B．1,4C．1,4D．1,2【例5-2】（2023·山西）已知0,0xy，且211xy，若228xymm有解，则实数m的取值范围为（）A．（∞，1）∪（9，+∞）B．（9，1）C．[9，1]D．（1，9）【一隅三反】1．（2023·四川南充）已知实数xy、满足0xyxy，且0xy，若不等式490xyt恒成立，则实数t的最大值为（）A．9B．12C．16D．252.（2023·广东湛江·统考二模）当x，0,y时，422422417424xxyymxxyy恒成立，则m的取值范围是（）A．25,B．26,C．99,4D．27,3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数a，b满足111ab，若不等式222022baabmab恒成立，则m的最大值为（）A．94B．32C．2D．3104考法六基本不等式解实际问题【例6】（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为227xx万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（）A．7B．8C．9D．10【一隅三反】1．（2023·北京）设计用232m的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是（）A．（38－373)m3B．16m3C．42m3D．14m32．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一．某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品．经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本()px万元，当产量不足50万件时，31()60120pxxx；当产量不小于50万件时，6400()1011360pxxx．每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完．欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（）A．40万件B．50万件C．60万件D．80万件3．（2023·甘肃武威·统考一模）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时，219802xxgx，当年产量不低于400辆时，360000163500xxgx，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（）A．1500万元B．2100万元C．2200万元D．3800万元考法七基本不等式与其他知识综合【例7-1】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知(3,0),(3,0)AB，P是椭圆2212516xy上的任意一点，则||||PAPB的最大值为（）A．9B．16C．25D．50【例7-2】（2023·全国·高三专题练习）已知0m，0n，直线11eyxm与曲线ln2yxn相切，则11mn的最小值是（）A．16B．12C．8D．4【一隅三反】1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列na中，2651116aaaa，则48aa的最大值是（）A．4B．8C．16D．322．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数1(0xyaa且1)a的图象过定点A，且点A在直线280,0mxnymn上，则832mnm的最小值是______.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2ln2fxxx在点1,1f处的切线过点,,0,0abab，则13ab的最小值为__________.4．（2023·江西鹰潭·统考一模）直四棱柱1111ABCDABCD的底面是菱形，其侧面积是82，若该直四棱柱有外接球，则该外接球的表面积的最小值为___________．