1.1 集合（精讲）（学生版）

1.1集合（精讲）一．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR二．集合间的基本关系(1)概念关系自然语言符号语言Venn图子集如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集(即若x∈A,则x∈B)A⊆B或B⊇A或真子集如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集AÜB或BÝA集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等A=B（2）子集个数对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.（3）易错点①A⊆B包含两层含义:AÜB或A=B②是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集三．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩BA∩B={x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪BA∪B={x|x∈A,或x∈B}补集对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA∁UA={x|x∈U,且x∉A}1.解决集合含义问题的关键有三点：①是确定构成集合的元素②是确定元素的限制条件③是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．2.互异性考查利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,注意检验集合中的元素是否满足互异性.3.集合运算的两种常用方法(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．4.已知集合关系求参数(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．5.集合间的运算①集合中的元素是离散的，可用Venn图表示，注意所求参数是否满足集合中元素的性质中的互异性②集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．考法一元素与集合的关系【例1-1】（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合21,3Mmm，若3M，则实数m=（）A．0B．1C．0或1D．0或1【例1-2】（2023·北京东城·统考一模）已知集合220Axx，且aA，则a可以为（）A．－2B．－1C．32D．2【一隅三反】1．（2023·云南）若22,aaa，则a的值为（）A．0B．2C．0或2D．22．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知210Axxax∣，若2A，且3A，则a的取值范围是（）A．5,2B．510,23C．510,23D．03,13.（2023广东湛江）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．考法二元素的互异性【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）集合,,Aabc中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【例2-2】(2023·山东)已知a，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b，0}，则a2021＋b2021为()A．1B．0C．－1D．±1【一隅三反】1.（2022·浙江·高三专题练习）已知aR，bR，若集合2,,1,,0baaaba，则20192019ab的值为（）A．2B．1C．1D．22.（2023湖南）若以集合A的四个元素abcd,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．菱形3.（2023湖北）已知集合A＝2x，y－1x，1，B＝{x2，x＋y，0}，若A＝B，则x＋y＝________．考法三集合间的关系【例3-1】（2023春·四川成都）集合1,2A，若AB，则集合B可以是（）A．1B．2C．0,1,2D．【例3-2】（1）（2023·全国·高三专题练习）集合A＝{1，2，3}的非空子集个数为（）A．5B．6C．7D．8（2）（2023·全国·高三专题练习）已知集合||,11,,0AxyyxxxBxyy，则集合AB的子集个数为（）A．3B．4C．6D．8【例3-3】（1）（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已集合2{30},9AxaxBxx∣∣，若AB，则实数a的取值集合是（）A．{1}B．{1,1}C．{1,0,1}D．{0,1}（2）（2023·广东茂名·统考二模）已知集合1Axx，20Bxxa，若AB，则实数a的取值范围是（）A．2,B．2,C．,2D．,2【一隅三反】1．（2023·宁夏银川·校联考一模）设全集1,3,5,7,9U，若集合M满足1,3,5UMð，则（）A．7MB．9MC．7MD．9M2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若ABBC，则下列结论不正确的是（）．A．ABB．BCC．BAD．AC3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合22,|4Axyxy，|,0Bxyxy，则A∩B的子集个数（）A．1B．2C．3D．44．（2023春·湖南岳阳）已知集合20,1,2,1,ABx，且BA，则实数x（）A．1B．2C．1或2D．05．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知集合{|11}Axx，20Bxxm，若AB，则实数m的取值范围是（）．A．,4B．,4C．,22D．,22考法四集合间的运算【例4-1】（1）（2023·陕西西安）若集合29Axx，集合13Bxx，则AB中整数的个数为（）．A．5B．6C．7D．8（2）（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）设集合lg1MxZx，2100xNxZ，则MN（）．A．5,6,7B．6,7,8C．7,8,9D．8,9,10（3）（2023·海南）设集合1{|2},03xAxxBxx，则RABð（）A．1,2B．1,2C．2,3D．2,3【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合22(,)4Axyxy，,34Bxyyx，则AB中元素的个数为（）A．0B．1C．2D．3【例4-3】（1）（2023·天津河东·一模）已知集合21,3,Aa，{1,2}Ba，ABA，则实数a的值为（）A．{2}B．{1,2}C．{1,2}D．{0,2}【一隅三反】1．（2023·广西南宁·统考二模）已知集合2,1,2,3A，12Bxx，则RABð（）A．1,2B．2,3C．2,1,2D．2,2,32．（2023·广东湛江·统考二模）已知集合234Axxx，22xBx，则ABRIð（）A．1,2B．4,C．1,4D．1,43．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知集合2ln1Axyx，245Byyxx，则AB（）A．1,1B．1,C．9,D．9,11,4．（2023·全国·高三专题练习）设集合2Axxa，Bxxa，若RABAð，则实数a的取值范围为（）A．0,1B．0,1C．0,1D．,01,5．（2022秋·河北沧州）已知集合15Axx，3Bxaxa，若BAB，则a的取值范围为（）A．3|12xxB．3|2xxC．|1xxD．3|2xx6．（2022·全国·高三专题练习（理））设集合11Axx，20Bxxa，若ABB，则a的取值范围为（）A．,0B．,0C．2,D．2,7．（2023云南）已知集合2230AxNxx，20Bxax，若ABB，则实数a的取值集合为（）A．1,2B．1,0C．{}2,0,1-D．2,1,08．（2023湖南）已知集合,30Axyxy，,10Bxyxmy.若AB，则实数m（）A．-3B．13C．13D．3考法五韦恩图【例5-1】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）如图，设全集NU，集合1,3,5,7,8A，1,2,3,5,9B，则图中阴影部分表示的集合为（）A．29,B．7,8C．1,3,5D．1,2,3,5,9【例5-2】（2023·广东·统考一模）已知集合{20},{10}MxxxNxx∣∣，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合{12}xx∣的是（）A．B．C．D．【一隅三反】1．（2023春·河北·高三统考学业考试）已知R是实数集，集合{314},{10}AxxBxx∣∣，则下图中阴影部分表示的集合是（）A．{43}xx∣B．{41}xx∣C．{13}xx∣D．4xx∣2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）已知全集RU，集合|1Axx，2|230Bxxx，则阴影部分表示的集合为（）A．3|1xxB．|31xxC．|31xxD．|31xx3．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知全集UR，集合{1Axx∣或3}x，2log(3)Bxyx∣，则如图中阴影部分表示的集合为（）A．1,3B．(3,)C．(,3]D．(1,3]考法六集合中的新定义【例6-1】（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）设集合的全集为U，定义一种运算，UMNxxMNð，若全集UR，2Mxx，31Nxx，则MN（）A．21xxB．12xxC．12xxD．21xx【例6-2】（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合ABxxA且xB，已知集合37,ZUxxx，1,0,2,4,6E，0,3,4,5F，则UEFð（）A．2,0,1,3,4,5B．0,1,3,4,5C．1,2,6D．2,0,1,3,4【一隅三反】1．（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合A和B，我们把集合,,xxabaAbB∣记作AB.若集合0,1,0,1AB，则AB中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．42．（2023·全国·高三专题练习）定义集合*,,ABzzxyxAyB∣，设集合1,0,1A，1,1,3B，则*AB中元素的个数为（）A．4B．5C．6D．73．（2023·全国·高三专