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重难点10空间距离与体积问题（2种考法）【目录】考法1：距离问题考法2：体积问题一.求点到平面的距离的四步骤二、常见几何体体积的四种求法1.直接法求体积（也称公式法）直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。可直接使用公式的题目，“高”一般都可直接或间接找到2.等体积法求三棱锥体积1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。3.多面体割补法求体积1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，再将其分割没转化成比较好求体积的几何体；【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算；常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体；（2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体；二、命题规律与备考策略（3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；（4）将台体补成锥体等等。【注意】题设条件存在将规则几何体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。4.两部分体积比例法（转移法）利用祖暅原理和等积変化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。考法1：距离问题1．（2023•新乡一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是CD，PB的中点．（1）证明：EF∥平面PAD；（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为32，△DEF的面积为4，求B到平面DEF的距离．2．（2023•陈仓区模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD＝AD＝1，PD⊥平面ABCD，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且EF⊥PB．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求点F到平面EDB的距离．3．（2023•贵州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB∥三、题型方法CD，AB⊥AD，E，F分别是棱BC，PA的中点．（1）证明：EF∥平面PCD．（2）若AB＝1，AD＝PD＝2，CD＝3，∠PDC＝120°，求点C到平面DEF的距离．4．（2023•天津模拟）如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（2）求二面角E一BC一F的正弦值；（3）求直线AD到平面EBC的距离．5．（2023•喀什地区模拟）如图，已知三角形P′AB是等腰三角形，P′A＝AB＝2，P′A⊥AB，C，D分别为P′B，P′A的中点，将△P′CD沿CD折到△PCD的位置如图2，且，取线段PB的中点为E．（1）求证：CE∥平面PAD；（2）求点B到面ACE的距离．6．（2023•安康模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点．（1）证明：PE∥平面BFG；（2）若AB＝2，求点C到平面BFG的距离．7．（2023•凉山州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝PA＝2，且直线PD与底面ABCD所成的角为．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）求点C到平面PBD的距离．8．（2023•江西模拟）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，P为BB1的中点，M为B1C1的中点，（1）求证：D1M∥平面A1DP；（2）若AA1＝AB＝2，∠BAD＝60°，求M到平面A1DP的距离．9．（2023•郑州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥AB，PD＝DC＝4，AB＝AD＝2．（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）求点D到平面PBC的距离．10．（2023•甘肃模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB＝PD．（1）证明：BD⊥PC；（2）若，PB＝AB＝BD＝2，求点A到平面PCD的距离．11．（2023•阿勒泰地区三模）在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB＝2BC＝2CD，如图①，以DE为折痕将△ADE折起，使点A到达点P的位置，如图②．（1）证明：CP⊥DE；（2）若CE⊥平面DEP，且AB＝2，求点C到平面PBD的距离．12．（2023•射洪市模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝2CD＝2，△APD为等边三角形，E为棱PB的中点．（1）证明：CE∥平面PAD；（2）当PB＝时，求证：平面PAD⊥平面ABCD．并求点E与到平面PCD的距离．13．（2023•河南模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD＝2，，，△PAD为等边三角形，∠PDC＝∠ADC＝45°．（1）证明：平面PDC⊥平面PBC；（2）求点C到平面PAB的距离．14．（2023•新疆模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是长方形，2AD＝CD＝PD＝2，PA＝，∠PDC＝120°，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上，且AF＝．（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；（2）求点C到平面DEF的距离．15．（2023•榆林一模）如图．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝，AB＝2CD＝2．（1）证明：AD⊥PB．（2）求点A到平面PBC的距离．16．（2023•呼和浩特模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点．（1）证明：PC∥平面EFG；（2）若PC＝PD＝CD＝2，AC＝AD＝AP＝2，求点C到平面EFG的距离．17．（2023•驻马店三模）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E为CC1上一点，AB＝CE＝2，AA1＝3，D为BB1上一点，三棱锥D﹣A1B1C1的体积为．（1）求证：平面A1DE⊥平面ABB1A1；（2）求点E到平面A1C1D的距离．18．（2023•新余二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，E为线段PB的中点，F为线段BC的中点．（1）证明：AE⊥平面PBC；（2）求点P到平面AEF的距离．19．（2023•郑州模拟）在几何体ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝，AC＝3，点D，E在棱AC上，且AD＝DE＝EC，三棱柱DBE﹣A1B1C1是直三棱柱．（1）求证：平面A1BE⊥平面ABB1；（2）若A1D＝2，求点A1到平面AB1C的距离．20．（2023•贵阳模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在BC上且＝2，求点M到平面PAB的距离．21．（2023•徐汇区校级三模）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝AD＝1，D1D＝CD＝2，AB⊥AD．（1）求证：BC⊥平面D1DB；（2）求点D到平面BCD1的距离．考法2：体积问题1．（2023•吴忠模拟）如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，FA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，DE∥AF，且FA＝3DE＝3．（1）在线段AB上是否存在点M，使得ME∥平面BCF；（2）求三棱锥A﹣EFC的体积．2．（2023•九江三模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，D为CC1的中点，．（1）求证：平面AB1C⊥平面ABD；（2）若，求三棱锥B1﹣ABD的体积．3．（2023•遵义模拟）如图，棱台ABCD﹣A'B'C'D'中，AA'＝BB'＝CC'＝DD'＝，底面ABCD是边长为4的正方形，底面A′B′C′D′是边长为2的正方形，连接AC′，BD，DC′．（1）证明：AC′⊥BD．（2）求三棱锥D﹣BCC′的体积．4．（2023•河南模拟）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E是B1D1的中点．（1）证明：CE⊥BD；（2）求三棱锥A﹣B1CE的体积．5．（2023•商洛三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，BC＝2AB＝2AD＝2，，PC⊥底面ABCD，M为棱AP上的一点．（1）证明：AB⊥CM；（2）若三棱锥P﹣CDM的体积为，求的值．6．（2023•重庆模拟）如图，在正三棱锥S﹣ABC中，E是高SO上一点，，直线AE与底面所成角的正切值为．（1）求证：AE⊥平面EBC；（2）求三棱锥E﹣ABC外接球的体积．7．（2023•江西模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC．（1）证明：四边形ABCD是正方形；（2）若PA＝AB＝3，M为PC上一点，且满足PC＝3PM，求三棱锥P﹣ABM的体积．8．（2023•重庆模拟）如图，EA⊥平面ABCD，EA∥FC，AC＝EA＝2FC＝2，四边形ABCD为菱形．（1）证明：FA⊥平面EBD；（2）若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为，求三棱锥E﹣BDF的体积．9．（2023•河南模拟）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，A1A＝A1B＝A1C＝2，∠BAC＝90°，E是BC的中点，F是线段A1C1上一点．（1）求证：AB⊥EF；（2）设P是棱AA1上的动点（不包括边界），当△PBC的面积最小时，求棱锥P﹣ABC的体积．10．（2023•湖南模拟）如图，四边形ABCD为正方形，四边形ADEF是梯形，AF∥DE，AD＝DE＝3AF，平面ADEF⊥平面ABCD，且ED⊥BD，点P是线段FC上的一点（不包括端点）．（1）证明BD⊥FC；（2）若AF＝1，且直线EC与平面PBD所成角的大小为45°，求三棱锥C﹣PBD的体积．11．（2023•安阳模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是棱B1C1，AC，BC的中点．（1）证明：AD∥平面C1EF；（2）若2AA1＝3AB＝3，求三棱锥A﹣C1DE的体积．12．（2023•保定二模）如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面是菱形，且∠BAD＝，DH⊥平面ABCD，EH＝2，DH＝3，AD＝4．（1）求证：AE∥平面BDG；（2）求三棱锥F﹣BDG的体积．13．（2023•乌鲁木齐模拟）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，交线段BC于点D（如图1），沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点．（1）求证：CD⊥ME；（2）求三棱锥A﹣BCD的体积最大值．14．（2023•乌鲁木齐模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，且PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E是PD的中点，点F在PC上，且PF＝2FC．（1）证明：DF∥平面PAB；（2）求三棱锥P﹣AEF的体积．15．（2023•开封三模）如图，四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB＝4，BC＝6．（1）证明：BF⊥平面EPF；（2）若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三棱锥B﹣EPF的体积．16．（2023•咸阳模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为1的正方形，侧面BB1C1C⊥侧面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中点．（1）求证：平面GBC⊥平面BB1C1C；（2）若P为线段BC的中点，求三棱锥A﹣PBG的体积．17．（2023•河南三模）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝1，